已知齐次线性方程组同解，求a，b，c的值．

admin2019-05-11 58

问题已知齐次线性方程组

同解，求a，b，c的值．

选项

答案方程组(Ⅱ)的未知量个数大于方程的个数，故方程组(Ⅱ)有无穷多个解．因为方程组(I)与(Ⅱ)同解，所以方程组(I)的系数矩阵的秩小于3．对方程组(I)的系数矩阵施以初等行变换，[*]从而a=2．此时，方程组(I)的系数矩阵可化为[*]故(一1，一1，1)^T是方程组(I)的一个基础解系．将x₁=一1，x₂=一1，x₃=1代入方程组(Ⅱ)，可得b=1，c=2或b=0，c=1．当b=1，c=2时，对方程组(Ⅱ)的系数矩阵施以初等行变换，有[*]故方程组(I)与(Ⅱ)同解．当b=0，c=1时，方程组(Ⅱ)的系数矩阵可化[*]故方程组(I)与(Ⅱ)的解不相同．综上所述，当a=2，b=1，c=2时，方程组(I)与(Ⅱ)同解．

解析本题考查两个齐次线性方程组同解具有的性质，齐次线性方程组基础解系的概念及其求法．所涉及的知识点是(1)齐次线性方程组基础解系的概念和通解的结构．(2)两个齐次线性方程组同解

(I)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也是(I)的解．

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考研数学二

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