已知齐次线性方程组同解,求a,b,c的值.

admin2019-05-11  44

问题 已知齐次线性方程组同解,求a,b,c的值.

选项

答案方程组(Ⅱ)的未知量个数大于方程的个数,故方程组(Ⅱ)有无穷多个解. 因为方程组(I)与(Ⅱ)同解,所以方程组(I)的系数矩阵的秩小于3.对方程组(I)的系数矩阵施以初等行变换,[*]从而a=2.此时,方程组(I)的系数矩阵可化为[*]故(一1,一1,1)T是方程组(I)的一个基础解系.将x1=一1,x2=一1,x3=1代入方程组(Ⅱ),可得b=1,c=2或b=0,c=1.当b=1,c=2时,对方程组(Ⅱ)的系数矩阵施以初等行变换,有[*]故方程组(I)与(Ⅱ)同解.当b=0,c=1时,方程组(Ⅱ)的系数矩阵可化[*]故方程组(I)与(Ⅱ)的解不相同.综上所述,当a=2,b=1,c=2时,方程组(I)与(Ⅱ)同解.

解析 本题考查两个齐次线性方程组同解具有的性质,齐次线性方程组基础解系的概念及其求法.所涉及的知识点是(1)齐次线性方程组基础解系的概念和通解的结构.(2)两个齐次线性方程组同解(I)的解是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解也是(I)的解.
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