二次型f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+cx32—2x1x2—6x2x3+6x1x3的秩为2，求c及此二次型的规范形，并写出相应的变换．

admin2018-06-14 64

问题二次型f(x₁，x₂，x₃)=5x₁²+5x₂²+cx₃²—2x₁x₂—6x₂x₃+6x₁x₃的秩为2，求c及此二次型的规范形，并写出相应的变换．

选项

答案二次型矩阵A=[*]，由二次型的秩为2，即矩阵A的秩r(A)=2，则有｜A｜=24(c一3)=0 → c=3．用配方法求规范形和所作变换． f(x₁，x₂，x₃)=5x₁²+5x₂²+3x₃²一2x₁x₂+6x₁x₃—6x₂x₃ =3(x₃+x₁+x₂)²—3(x₁一x₂)²+5x₁²+5x₂²一2x₁x₂ =3(x₁—x₂+x₃)²+2x₁²+2x₂²+4x₁x₂ =3(x₁—x₂+x₃)²+2(x₁+x₂)² 令[*] 则f(x₁，x₂，x₃)=y₁²+y₂²，为规范二次型．所作变换为 [*]

解析

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