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设幂级数anxn在(一∞,+∞)内收敛,其和函数y(x)满足y"一2xy’一4y=0,y(0)=0,y’(0)=1。 (Ⅰ)证明:an+2=an,n=1,2,…; (Ⅱ)求y(x)的表达式。
设幂级数anxn在(一∞,+∞)内收敛,其和函数y(x)满足y"一2xy’一4y=0,y(0)=0,y’(0)=1。 (Ⅰ)证明:an+2=an,n=1,2,…; (Ⅱ)求y(x)的表达式。
admin
2017-12-29
42
问题
设幂级数
a
n
x
n
在(一∞,+∞)内收敛,其和函数y(x)满足y"一2xy’一4y=0,y(0)=0,y’(0)=1。
(Ⅰ)证明:a
n+2
=
a
n
,n=1,2,…;
(Ⅱ)求y(x)的表达式。
选项
答案
(Ⅰ)记[*]n(n一1)a
n
x
n—2
,代入微分方程y"一2xy’一4y=0有 [*] 故有 (n+2)(n+1)a
n+2
—2na
n
一4a
n
=0, 即 a
n+2
=[*]a
n
,n=1,2,…。 (Ⅱ)由初始条件y(0)=0,y’(0)=1,知a
0
=0,a
1
=1。 于是根据递推关系式a
n+2
=[*]a
n
,有a
2n
=0,a
2n+1
=[*]。 故 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/kGX4777K
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考研数学三
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