2. 考研
  3. 设α1，α2，…，αn是n个n维的线性无关向量组，αn+1=k1α1+k2α2+…+knαn，其中k1，k2，…，kn全不为零。证明α1，α2，…，αn，αn+1中任意n个向量线性无关。

设α1，α2，…，αn是n个n维的线性无关向量组，αn+1=k1α1+k2α2+…+knαn，其中k1，k2，…，kn全不为零。证明α1，α2，…，αn，αn+1中任意n个向量线性无关。

admin2019-03-23  39
问题 设α1，α2，…，αn是n个n维的线性无关向量组，αn+1=k1α1+k2α2+…+knαn，其中k1，k2，…，kn全不为零。证明α1，α2，…，αn，αn+1中任意n个向量线性无关。
选项
答案选取αi之外的n个向量为例。 令λ1α1+…+λi—1αi—1+λi+1αi+1+…+λnαn+λn+1αn+1=0，即(λ1+λn+1k1)α1+…+(λi—1+λn+1ki—1)αi—1+λn+1kiαi+(λi+1+λn+1ki+1)αi+1+…+(λn+λn+1kn)αn=0。 因为α1，α2，…，αn线性无关，所以必有λn+1ki=0，而ki≠0，则λn+1=0，故由λ1+λn+1k1=0，…，λi—1+λn+1ki—1=0，λi+1+λn+1ki+1=0，…，λn+λn+1kn=0，立即得λ1=λ2=…=λi—1=λi+1=…=λn+1=0，所以α1，α2，…，αi—1，αi+1，…，αn，αn+1线性无关。
解析
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考研数学二

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