设α1，α2，…，αn是n个n维的线性无关向量组，αn+1=k1α1+k2α2+…+knαn，其中k1，k2，…，kn全不为零。证明α1，α2，…，αn，αn+1中任意n个向量线性无关。

admin2019-03-23 79

问题设α₁，α₂，…，α_n是n个n维的线性无关向量组，α_n+1=k₁α₁+k₂α₂+…+k_nα_n，其中k₁，k₂，…，k_n全不为零。证明α₁，α₂，…，α_n，α_n+1中任意n个向量线性无关。

选项

答案选取α_i之外的n个向量为例。令λ₁α₁+…+λ_i—1α_i—1+λ_i+1α_i+1+…+λ_nα_n+λ_n+1α_n+1=0，即(λ₁+λ_n+1k₁)α₁+…+(λ_i—1+λ_n+1k_i—1)α_i—1+λ_n+1k_iα_i+(λ_i+1+λ_n+1k_i+1)α_i+1+…+(λ_n+λ_n+1k_n)α_n=0。因为α₁，α₂，…，α_n线性无关，所以必有λ_n+1k_i=0，而k_i≠0，则λ_n+1=0，故由λ₁+λ_n+1k₁=0，…，λ_i—1+λ_n+1k_i—1=0，λ_i+1+λ_n+1k_i+1=0，…，λ_n+λ_n+1k_n=0，立即得λ₁=λ₂=…=λ_i—1=λ_i+1=…=λ_n+1=0，所以α₁，α₂，…，α_i—1，α_i+1，…，α_n，α_n+1线性无关。

解析

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考研数学二

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设α1，α2，…，αn是n个n维的线性无关向量组，αn+1=k1α1+k2α2+…+knαn，其中k1，k2，…，kn全不为零。证明α1，α2，…，αn，αn+1中任意n个向量线性无关。

考研数学二

求常数a，使得向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(－2，a，4)T，β3=(－2，a，a)T线性表示，但是β1，β2，β3不可用α1，α2，α3线性表示．

设A和B都是m×n实矩阵，满足r(A+B)=n，证明ATA+BTB正定．

二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a－1)x32+2x1x3－2x2x3．①求f(x1，x2，x3)的矩阵的特征值．②如果f(x1，x2，x3)的规范形为y12+y22，求a．

设α1=(1，－1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，－2，2，0)，α5=(2，1，5，10)．①求r(α1，α2，α3，α4，α5)．②求一个最大线性无关组，并且把其余向量用它线性表示．

设α，β都是n维列向量时，证明①αβT的特征值为0，0，…，0，βTα．②如果α不是零向量，则α是αβT的特征向量，特征值为βTα．

已知齐次方程组同解，求a，b，c．

求此齐次方程组的一个基础解系和通解．

给定曲线y＝χ2＋5χ＋4，(Ⅰ)确定b的值，使直线y＝－χ＋b为曲线的法线；(Ⅱ)求过点(0，3)的切线．

假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g’’(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：在开区间(a，b)内g(x)≠0；

子宫脱垂最主要的病因是

对流行性腮腺炎的护理，以下正确的是

对个人买卖有价证券(含国债，但不含股票)的所得要按(　　)缴纳个人所得税。

甲在一刑事附带民事诉讼中，被法院依法判处罚金并赔偿被害人损失，但甲的财产不足以全部支付罚金和承担民事赔偿。下列关于如何执行本案判决的表述哪一项是正确的?()

以城市、医院、工业区垃圾、有害污泥等为有机原料制成的有机肥垃圾肥可以在农作物上大量的使用，效果甚好。()

计算(x+y)2dxdy，，其中D：｜x｜+｜y｜≤1．

设x="123"，y=123，k="y"，表达式x+&k的值是

有以下程序：　#include＜stdio．h＞　main()　{intb[3][3]={0，1，2，0，1，2，0，1，2}，i，j，t=1；　for(i=0；i＜3；i++)　for(j=i；j＜=i；j++)t+

Whatadvantagedoesthespeakermentionforeachofthefollowingphysicalactivities?ChooseSIXanswersfromtheboxandwrite

设α1，α2，…，αn是n个n维的线性无关向量组，αn+1=k1α1+k2α2+…+knαn，其中k1，k2，…，kn全不为零。证明α1，α2，…，αn，αn+1中任意n个向量线性无关。

考研数学二

求常数a，使得向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(－2，a，4)T，β3=(－2，a，a)T线性表示，但是β1，β2，β3不可用α1，α2，α3线性表示．

设A和B都是m×n实矩阵，满足r(A+B)=n，证明ATA+BTB正定．

二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a－1)x32+2x1x3－2x2x3．①求f(x1，x2，x3)的矩阵的特征值．②如果f(x1，x2，x3)的规范形为y12+y22，求a．

设α1=(1，－1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，－2，2，0)，α5=(2，1，5，10)．①求r(α1，α2，α3，α4，α5)．②求一个最大线性无关组，并且把其余向量用它线性表示．

设α，β都是n维列向量时，证明①αβT的特征值为0，0，…，0，βTα．②如果α不是零向量，则α是αβT的特征向量，特征值为βTα．

已知齐次方程组同解，求a，b，c．

求此齐次方程组的一个基础解系和通解．

给定曲线y＝χ2＋5χ＋4，(Ⅰ)确定b的值，使直线y＝－χ＋b为曲线的法线；(Ⅱ)求过点(0，3)的切线．

假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g’’(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：在开区间(a，b)内g(x)≠0；

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对流行性腮腺炎的护理，以下正确的是

对个人买卖有价证券(含国债，但不含股票)的所得要按( )缴纳个人所得税。

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以城市、医院、工业区垃圾、有害污泥等为有机原料制成的有机肥垃圾肥可以在农作物上大量的使用，效果甚好。()

计算(x+y)2dxdy，，其中D：｜x｜+｜y｜≤1．

设x="123"，y=123，k="y"，表达式x+&k的值是

有以下程序： #include＜stdio．h＞ main() {intb[3][3]={0，1，2，0，1，2，0，1，2}，i，j，t=1； for(i=0；i＜3；i++) for(j=i；j＜=i；j++)t+

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对个人买卖有价证券(含国债，但不含股票)的所得要按(　　)缴纳个人所得税。

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