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设随机变量X1,…,Xn,Xn+1独立同分布,且P(X1=1)=P,P(X1=0)=1-P,记 Yi=(i=1,2,…,n). 求.
设随机变量X1,…,Xn,Xn+1独立同分布,且P(X1=1)=P,P(X1=0)=1-P,记 Yi=(i=1,2,…,n). 求.
admin
2018-07-30
57
问题
设随机变量X
1
,…,X
n
,X
n+1
独立同分布,且P(X
1
=1)=P,P(X
1
=0)=1-P,记
Y
i
=
(i=1,2,…,n).
求
.
选项
答案
EY
i
=P(X
i
+X
i+1
=1)=P(X
i
=0,X
i+1
1=1)+P(X
i
=1,X
i+1
=0)=2p(1-P),i=1,…,n, ∴[*]=2np(1-p),而E(Y
i
2
)=P(X
i
+X
i+1
=1)=2p(1-p), ∴DY
i
=E(Y
i
2
)-(EY
i
)
2
=2p(1-p)[1-2p(1-p)],i=1,2,…,n. 若l-k≥2,则Y
k
与Y
l
独立,这时cov(Y
k
,Y
l
)=0, 而E(Y
k
Y
k+1
)=P(Y
k
=1,Y
k+1
=1)=P(X
k
+X
k+1
=1,X
k+1
+X
k+2
=1)=P(X
k
=0,X
k+1
=1,X
k+2
=0)+P(X
k
=1,X
k+1
=0,X
k+2
=1)=(1-p)
2
p+p
2
(1-p)=p(1-p),∴cov(Y
k
,Y
k+1
)=E(Y
k
Y
k+1
)-EY
k
EY
k+1
=p(1-p)-4p
2
(1-p)
2
, 故[*]=2np(1-p)[1-2p(1-p)]+2[*]cov(Y
k
,Y
k+1
)=2np(1-p)[1-2p(1-p)]+2(n-1)[p(1-p)-4p
2
(1-p)
2
]=p(1-p)[2n-6np(1-p)+4p(1-p)-1].
解析
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考研数学三
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