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设E是n阶单位矩阵,E+A是n阶可逆矩阵,则下列关系式中不恒成立的是( ).
设E是n阶单位矩阵,E+A是n阶可逆矩阵,则下列关系式中不恒成立的是( ).
admin
2021-07-27
48
问题
设E是n阶单位矩阵,E+A是n阶可逆矩阵,则下列关系式中不恒成立的是( ).
选项
A、(E-A)(E+A)
2
=(E+A)
2
(E-A)
B、(E-A)(E+A)
T
=(E+A)
T
(E-A)
C、(E-A)(E+A)
-1
=(E+A)
-1
(E-A)
D、(E-A)(E+A)
*
=(E+A)
*
(E-A)
答案
B
解析
因EA=AE=A,AA
2
=A
2
A=A
3
,AA
-1
=A
-1
A=E,AA
*
=A
*
A=|A|E,故知A和E,A
2
,A
-1
,A
*
乘法运算均可交换。但(E+A)(E+A)
T
≠(E+A)
T
(E+A).事实上,(E-A)(E+A)
T
=[2E-(E+A)](E+A)
T
≠(E+A)
T
[2E-(E+A)]=(E+A)
T
(E-A).故应选(B).对于(A),(C),(D)均成立。以(C)为例,有(E-A)(E+A)
-1
=[2E-(A+E)](E+A)
-1
=2E(E+A)
-1
-(A+E)(A+E)
-1
=(E+A)
-1
2E-(A+E)
-1
(A+E)=(A+E)
-1
[2E-(A+E)]=(A+E)
2
(E-A).同理,(A),(D)也成立.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/kTy4777K
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