设E是n阶单位矩阵，E+A是n阶可逆矩阵，则下列关系式中不恒成立的是( )．

admin2021-07-27 54

问题设E是n阶单位矩阵，E+A是n阶可逆矩阵，则下列关系式中不恒成立的是( )．

选项 A、(E-A)(E+A)²=(E+A)²(E-A)
B、(E-A)(E+A)^T=(E+A)^T(E-A)
C、(E-A)(E+A)^-1=(E+A)^-1(E-A)
D、(E-A)(E+A)^*=(E+A)^*(E-A)

答案B

解析因EA=AE=A，AA²=A²A=A³，AA^-1=A^-1A=E，AA^*=A^*A=｜A｜E，故知A和E，A²，A^-1，A^*乘法运算均可交换。但(E+A)(E+A)^T≠(E+A)^T(E+A)．事实上，(E-A)(E+A)^T=[2E-(E+A)](E+A)^T≠(E+A)^T[2E-(E+A)]=(E+A)^T(E-A)．故应选(B)．对于(A)，(C)，(D)均成立。以(C)为例，有(E-A)(E+A)^-1=[2E-(A+E)](E+A)^-1=2E(E+A)^-1-(A+E)(A+E)^-1=(E+A)^-12E-(A+E)^-1(A+E)=(A+E)^-1[2E-(A+E)]=(A+E)²(E-A)．同理，(A)，(D)也成立．

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