设A=，其中A可逆，则B-1等于( )

admin2021-01-25 47

问题设A=

，其中A可逆，则B^-1等于( )

选项 A、A^-1P₁P₂。
B、P₁A^-1P₂。
C、P₁P₂A^-1。
D、P₂A^-1P₁。

答案C

解析由所给矩阵A，B观察，将A的二，三列互换，再将A的一，四列互换，可得B。根据初等矩阵变换的性质，知将A的二、三列互换相当于在矩阵A的右侧乘以E₂₃，将A的一、四列互换相当于在矩阵A的右侧乘以E₁₄，即
AE₂₃E₁₄=B，其中E₂₃=

，
由题设条件知P₁=E₁，P₂=E₂₃，因此B=AP₂P₁。由于对初等矩阵E_ij有，E_ij^-1=E_ij，故P₁^-1=P₁，P₂^-1
=P₂。
因此，由B=AP₂P₁及逆矩阵的运算规律，有
B^-1=(AP₂P₁)^-1=P₁^-1P₂^-1A^-1=P₁P₂A^-1。

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