[2008年] 设α，β为三维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置．证明：秩(A)≤2；

admin2019-04-28 90

问题 [2008年] 设α，β为三维列向量，矩阵A=αα^T+ββ^T，其中α^T，β^T分别是α，β的转置．证明：
秩(A)≤2；

选项

答案解一直接利用命题2．2．3．2(5)的结论，有秩(αα^T)≤1，秩(ββ^T)≤1．再利用命题2．2．3．1(3)得到秩(A)=秩(αα^T+ββ^T)≤秩(αα^T)+秩(ββ^T)≤2．解二设α，β为三维列向量，且α=[a₁，a₂，a₃]^T，β=[b₁，b₂，b₃]^T，则 [*] 故秩(αβ^T)≤1．因而有秩(αα^T)≤1，秩(ββ^T)≤1．于是秩(A)=秩(αα^T+ββ^T)≤秩(αα^T)+秩(ββ^T)≤1+1=2．注：命题2．2．3．2 设A为m×n矩阵．(5)若A=αβ，其中α为m维行向量，β为n维列向量，则秩(A)=秩(αβ^T)≤1．

解析

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考研数学三

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[2008年] 设α，β为三维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置．证明：秩(A)≤2；

考研数学三

设二次型f(x1，x2，x3)＝XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB＋B＝O，其中B＝．(1)求正交变换X＝QY将二次型化为标准形；(2)求矩阵A．

设A＝，已知A有三个线性无关的特征向量，且λ＝2为矩阵A的二重特征值，求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵．

设三阶矩阵A＝(α，γ1，γ2)，B＝(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三维列向量，且｜A｜＝3，｜B｜＝4，则｜5A－2B｜＝______．

求幂级数的收敛域．

已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为(Ⅰ)试求(X，Y)的边缘概率密度fX(x)，fY(y)，并问X与Y是否独立；(Ⅱ)令Z=X—Y，求Z的分布函数FZ(y)(z)与概率密度fZ(y)(z)。

两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布。首先开动其中一台，当其发生故障时停用，而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度。

随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相关系数ρXY=1，则()

设二阶常系数线性微分方程y’’＋ay’＋by＝cex有特解y＝e2x＋(1＋x)ex，确定常数a，b，c，并求该方程的通解．

a，b取何值时，方程组有解?

设矩阵A=，其行列式｜A｜=一1，又A的伴随矩阵A*有一个特征值λ0，属于λ0的一个特征向量为α=(一1，一1，1)T，求a，b，c和λ0的值。

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A．元气B．宗气C．营气D．卫气E．中气主司腠理开合的是

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