设函数φ(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分的值恒为同一常数。 求函数φ(y)的表达式。

admin2018-12-29  22

问题 设函数φ(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分的值恒为同一常数。
求函数φ(y)的表达式。

选项

答案设P=[*],P,Q在单连通区域x>0内,具有一阶连续偏导数。由(Ⅰ)知, 曲线积分[*]在该区域内与路径无关,故当x>0时,总有[*]。 [*] 比较(1)、(2)两式的右端,得 [*] 由(3)得φ(y)= —y2+C,将φ(y)代入(4)得2y5—4Cy3=2y5,所以C=0,从而φ(y)= —y2

解析
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