设A为n阶实对称矩阵，满足A2=E，并且r(A+E)=k＜n． ① 求二次型xTAx的规范形． ② 证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求｜B｜．

admin2019-07-28 41

问题设A为n阶实对称矩阵，满足A²=E，并且r(A+E)=k＜n．
① 求二次型x^TAx的规范形．
② 证明B=E+A+A²+A³+A⁴是正定矩阵，并求｜B｜．

选项

答案① 由于A²=E，A的特征值九应满足λ²=1，即只能是1和一1．于是A+E的特征值只能是2和0．A+E也为实对称矩阵，它相似于对角矩阵A，A的秩等于r(A+E)=k．于是A+E的特征值是2(k重)和0(n一k重)，从而A的特征值是1(k重)和一1(n—k重)．A的正，负关系惯性指数分别为k和n一k，x^TAx的规范形为y₁²+y₂²+…+y_k²一y_k+1²…一y_n²．② B是实对称矩阵．由A²=E，有B=3E+2A，B的特征值为5(k重)和1(n一k重)都是正数．因此B是正定矩阵．

解析

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考研数学二

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设A为n阶实对称矩阵，满足A2=E，并且r(A+E)=k＜n． ① 求二次型xTAx的规范形． ② 证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求｜B｜．

考研数学二

微分方程2y〞＝3y2满足初始条件y(－2)＝1，y′(－2)＝1的特解为_______．

设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，…，γn)，记向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)：β1，β2，…，βm；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γm，若向量组(Ⅲ)线性相关，则()．

设f(x)∈C[0，1]，f(x)＞0．证明积分不等式：ln∫01f(x)dx≥∫01lnf(x)dx.

设k为常数，方程kx-+1=0在(0，+∞)内恰有一根，求k的取值范围．

设函数f(x)∈C[a，b]，且f(x)＞0，D为区域a≤x≤b，a≤y≤b．证明：≥(b-a)2．

计算二重积分I=∫01dx

设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=＜b=f(b)．证明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得

在x轴上有一线密度为常数μ，长度为l的细杆，在杆的延长线上离杆右端为a处有一质量为m的质点P，求证：质点与杆间的引力为(M为杆的质量)．

设ξ0=(1，－1，1，1)T是线性方程组的一个解向量，试求：方程组（*）的全部解；

设向量α=(1，0，-1)T，矩阵A=ααT，a为常数，n为正整数，则行列式｜aE-An｜=_______．

有以下程序#include＜stdio.h＞main(){charc[2][5]={"6938","8254"},*p[2];inti,j,s=0;f

何谓肝脏假小叶?其形态结构如何?

依据我国《担保法》规定，下列财产不可以抵押的是()。

属于民族文化遗产的有()。

《建设工程施工合同》规定的设计变更范畴不包括(　　)。

引起个别投资中心的投资利润率提高的投资，一定会使整个企业的剩余收益增加。()

经济活动的参与者是分散的，各自独立，信息不全，结果必然造成经济波动和资源浪费。这反映出市场调节的哪一项缺陷？（）

图16-4标出了某地区的运输网：各节点之间的运输能力如表16-10所示(单位：万吨/小时)：从节点①到节点⑥的最大运输能力(流量)可以达到(65)万吨/小时。

Americanseat_______________(两倍多的蛋白质)theyactuallyneedeveryday.

A、Aprojectaboutanactress.B、Aprojectaboutamoviedirector.C、Aprojectaboutamovie.D、AprojectaboutEurope.AWhatar

设A为n阶实对称矩阵，满足A2=E，并且r(A+E)=k＜n． ① 求二次型xTAx的规范形． ② 证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求｜B｜．

考研数学二

微分方程2y〞＝3y2满足初始条件y(－2)＝1，y′(－2)＝1的特解为_______．

设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，…，γn)，记向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)：β1，β2，…，βm；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γm，若向量组(Ⅲ)线性相关，则()．

设f(x)∈C[0，1]，f(x)＞0．证明积分不等式：ln∫01f(x)dx≥∫01lnf(x)dx.

设k为常数，方程kx-+1=0在(0，+∞)内恰有一根，求k的取值范围．

设函数f(x)∈C[a，b]，且f(x)＞0，D为区域a≤x≤b，a≤y≤b．证明：≥(b-a)2．

计算二重积分I=∫01dx

设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=＜b=f(b)．证明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得

在x轴上有一线密度为常数μ，长度为l的细杆，在杆的延长线上离杆右端为a处有一质量为m的质点P，求证：质点与杆间的引力为(M为杆的质量)．

设ξ0=(1，－1，1，1)T是线性方程组的一个解向量，试求：方程组（*）的全部解；

设向量α=(1，0，-1)T，矩阵A=ααT，a为常数，n为正整数，则行列式｜aE-An｜=_______．

有以下程序#include＜stdio.h＞main(){charc[2][5]={"6938","8254"},*p[2];inti,j,s=0;f

何谓肝脏假小叶?其形态结构如何?

依据我国《担保法》规定，下列财产不可以抵押的是()。

属于民族文化遗产的有()。

《建设工程施工合同》规定的设计变更范畴不包括( )。

引起个别投资中心的投资利润率提高的投资，一定会使整个企业的剩余收益增加。()

经济活动的参与者是分散的，各自独立，信息不全，结果必然造成经济波动和资源浪费。这反映出市场调节的哪一项缺陷？（）

图16-4标出了某地区的运输网：各节点之间的运输能力如表16-10所示(单位：万吨/小时)：从节点①到节点⑥的最大运输能力(流量)可以达到(65)万吨/小时。

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A、Aprojectaboutanactress.B、Aprojectaboutamoviedirector.C、Aprojectaboutamovie.D、AprojectaboutEurope.AWhatar

《建设工程施工合同》规定的设计变更范畴不包括(　　)。