设A为n阶实对称矩阵，满足A2=E，并且r(A+E)=k＜n． ① 求二次型xTAx的规范形． ② 证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求｜B｜．

admin2019-07-28 96

问题设A为n阶实对称矩阵，满足A²=E，并且r(A+E)=k＜n．
① 求二次型x^TAx的规范形．
② 证明B=E+A+A²+A³+A⁴是正定矩阵，并求｜B｜．

选项

答案① 由于A²=E，A的特征值九应满足λ²=1，即只能是1和一1．于是A+E的特征值只能是2和0．A+E也为实对称矩阵，它相似于对角矩阵A，A的秩等于r(A+E)=k．于是A+E的特征值是2(k重)和0(n一k重)，从而A的特征值是1(k重)和一1(n—k重)．A的正，负关系惯性指数分别为k和n一k，x^TAx的规范形为y₁²+y₂²+…+y_k²一y_k+1²…一y_n²．② B是实对称矩阵．由A²=E，有B=3E+2A，B的特征值为5(k重)和1(n一k重)都是正数．因此B是正定矩阵．

解析

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考研数学二

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设A为n阶实对称矩阵，满足A2=E，并且r(A+E)=k＜n． ① 求二次型xTAx的规范形． ② 证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求｜B｜．

考研数学二

设f(χ)在[0，1]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(t)dt＋(ξ－1)f(ξ)＝0．

设A为n阶矩阵，且Ak＝O，求(E－A)-1．

设函数f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0．将曲线y=f(x)，x=1，x=a(a＞1)及x轴所围成平面图形绕z轴旋转一周得旋转体体积为[a2f(a)-f(1)]．若f(1)=，求：(1)f(x)；(2)f(x)的极值．

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且，又f(2)=，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)+f’’(ξ)=0．

设矩阵A=(1)若A有一个特征值为3，求a；(2)求可逆矩阵P，使得PTA2P为对角矩阵．

二阶常系数非齐次线性微分方程y’’-2y’-3y=(2x+1)e-x的特解形式为()．

设f(x)在(-∞，+∞)连续，在点x=0处可导，且f(0)=0，令(Ⅰ)试求A的值，使F(x)在(-∞，+∞)上连续；(Ⅱ)求F’(x)并讨论其连续性．

设n为正整数，f(x)=xn+x－1．对于(I)中的xn，证明存在并求此极限．

下列命题正确的是()

患儿，男性，5岁。因发热2天就诊，伴咳嗽。查体：咽红，双侧扁桃体肿大，可见脓性分泌物，可见口周苍白圈，躯干散在针尖大小红色丘疹。该患儿最有助于诊断的检查为

非公开发行的股份自发行结束之日起，_____不得转让。()

卫生行政机关在收集证据时，在证据可能灭失的情况下可以先行登记保存证据，执法人员应向当事人出具

A．p-ANCAB．C-ANCAC．抗SS-A抗体D．结核抗体E．抗核抗体Wegener肉芽肿患者的常见抗体为

以下有关“缺药的处理”的叙述中，不恰当的是

门诊部、诊疗所热水用水定额单位是()。

规划是政府对未来的一种()。

既能用于新的陆上网络，又可对现有系统进行升级改造，特别适用于DWDM系统传输的是()光纤。

从事证券自营业务的证券公司其注册资本最低限额应达到人民币(　　)元。

如图，锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，小靖依下列方法作图：(1)作∠A的角平分线交BC于D点；(2)作∠AD的中垂线交AC于E点；(3)连接DE根据他画的图形，下列关系正确的是()

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设A为n阶矩阵，且Ak＝O，求(E－A)-1．

设函数f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0．将曲线y=f(x)，x=1，x=a(a＞1)及x轴所围成平面图形绕z轴旋转一周得旋转体体积为[a2f(a)-f(1)]．若f(1)=，求：(1)f(x)；(2)f(x)的极值．

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设f(x)在(-∞，+∞)连续，在点x=0处可导，且f(0)=0，令(Ⅰ)试求A的值，使F(x)在(-∞，+∞)上连续；(Ⅱ)求F’(x)并讨论其连续性．

设n为正整数，f(x)=xn+x－1．对于(I)中的xn，证明存在并求此极限．

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如图，锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，小靖依下列方法作图：(1)作∠A的角平分线交BC于D点；(2)作∠AD的中垂线交AC于E点；(3)连接DE根据他画的图形，下列关系正确的是()

从事证券自营业务的证券公司其注册资本最低限额应达到人民币(　　)元。