设A为n阶实对称矩阵，满足A2=E，并且r(A+E)=k＜n． ① 求二次型xTAx的规范形． ② 证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求｜B｜．

admin2019-07-28 77

问题设A为n阶实对称矩阵，满足A²=E，并且r(A+E)=k＜n．
① 求二次型x^TAx的规范形．
② 证明B=E+A+A²+A³+A⁴是正定矩阵，并求｜B｜．

选项

答案① 由于A²=E，A的特征值九应满足λ²=1，即只能是1和一1．于是A+E的特征值只能是2和0．A+E也为实对称矩阵，它相似于对角矩阵A，A的秩等于r(A+E)=k．于是A+E的特征值是2(k重)和0(n一k重)，从而A的特征值是1(k重)和一1(n—k重)．A的正，负关系惯性指数分别为k和n一k，x^TAx的规范形为y₁²+y₂²+…+y_k²一y_k+1²…一y_n²．② B是实对称矩阵．由A²=E，有B=3E+2A，B的特征值为5(k重)和1(n一k重)都是正数．因此B是正定矩阵．

解析

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考研数学二

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设A为n阶实对称矩阵，满足A2=E，并且r(A+E)=k＜n． ① 求二次型xTAx的规范形． ② 证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求｜B｜．

考研数学二

设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)f()＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝f(ξ)．

设n阶矩阵A满足A2＋2A－3E＝O．求：(1)(A＋2E)-1；(2)(A＋4E)-1．

[]所以原式[]

[]而∫01ln(1＋χ)dχ＝χln(1＋χ)[]＝ln2－1＋ln2＝ln[]所以[]

设f(x)为二阶可导的奇函数，且x＜0时有f’’(x)＞0，f’(x)＜0，则当x＞0时有()．

设A，B为三阶矩阵，且AB=A-B，若λ1，λ2，λ3为A的三个不同的特征值，证明：(1)AB=BA：(2)存在可逆矩阵P，使得P-1AP，P-1BP同时为对角矩阵．

设f(x)在[0，b]可导，f’(x)＞0(∈(0，b))，t∈[0，b]，问t取何值时，图4．10中阴影部分的面积最大?最小?

求数列极限

下列命题：①设均存在，则f(x)在x=x0处必连续；②设fˊ－(x0)与fˊ+(x0)均存在，则f(x)在x=x0处必连续；③设f(x0－)与f(x0+)均存在，则f(x)在x=x0处必连续；④设中至少有一个不存在，则f(x)在x=x0处必不可

计算积分：其中[x]表示不超过x的最大整数．

下列关于Word2010文件的保存说法中，错误的是()。

恶热、汗出、口渴、疲乏、尿黄，舌红、苔黄，脉虚数，属于()

升药的功效是

塔吊安装方案应由（）单位编写。

下列有关态度与行为的关系描述不正确的是()。

不同法的形式具有不同的效力等级，下列各项中，效力低于地方性法规的是()。

某商品分别在购物网站和实体店进行销售，利润率都是100％。为了促销，网站推出该商品买二赠一活动，实体店在提高一定价钱后以六折销售，结果两者利润仍然相同。问实体店提高的价钱占该商品原来售价的比例是多少?

学与教相互作用的过程是由、__和评价／反思过程三种活动过程交织在一起的。

某学校有一批树苗需要栽种在学院路两旁，每隔5米栽一棵。已知每个学生栽4棵树，则有202棵树没有人栽；每个学生栽5棵树，则有348人可以少栽一棵。问学院路共有多少米?

以下哪项列出的四名队员可以共同参加比赛?()如果H不参加比赛，则参加比赛的队员必然包括以下哪两名?()

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[*]而∫01ln(1＋χ)dχ＝χln(1＋χ)[*]＝ln2－1＋ln2＝ln[*]所以[*]

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