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计算I=∮L(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz,其中L是平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线,从z轴正向看L,L是逆时针方向.
计算I=∮L(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz,其中L是平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线,从z轴正向看L,L是逆时针方向.
admin
2016-07-22
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问题
计算I=∮
L
(y
2
-z
2
)dx+(2z
2
-x
2
)dy+(3x
2
-y
2
)dz,其中L是平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线,从z轴正向看L,L是逆时针方向.
选项
答案
方法一 封闭曲线积分容易想到斯托克斯公式法.用斯托克斯公式,取平面x+y+z=2被L所围成的有界部分为绷在L上的曲面S,按斯托克斯公式,S的法向量与z轴正向的交角应为锐角. I=∮
L
(y
2
-z
2
)dx+(2z
2
-x
2
)dy+(3x
2
-y
2
)dz =∫∫
S
(-2y-4z)dydz+(-2z-6x)dzdx+(-2x-2y)dxdy. ① 方法1.1 改换成第一型曲面积分,S的单位法向量 [*] D
xy
既对称于x轴,又对称于y轴,所以 [*] 分别令y≥0,y≤0,2-y-z≥0,2-y-z≤0,可得D
yz
的4条边的方程,从而D
yz
可改写为 [*] 将第2个积分的S投影到zOx平面上去, [*] 其中D
xy
={(x,y)||x|+|y|≤1},所以I
3
=0.从而I=I
1
+I
2
+I
3
=-24. 方法二(用参数式计算) 由于L是由4个直线段构成的四边形,所以用参数式计算时,要一段段计算. L:|x|+|y|=1,z=2-x-y. 当x≥0,y≥0时,L
1
:y=1-x,z=2-x-y=1,x从1到0, [*] 方法三(降维法) 将L所在的方程z=2-x-y代入曲线积分以降低一维,降为 [*] 其中L
1
为L在zOy平面上的投影:|x|+|y|=1,D
xy
={(x,y)||x+|y|≤1}.最后得到-24.
解析
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考研数学一
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