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若f(x)为[a，b]上的有界凹函数，则下列结论成立： ① λ∈[0，1]，f(λx1+(1一λ)x2)≤λf(x1)+(1一λ)f(x2)，x1，x2∈[a，b]； ② ③ ④．f(x)为(a，b)上的连续函数．
若f(x)为[a，b]上的有界凹函数，则下列结论成立： ① λ∈[0，1]，f(λx1+(1一λ)x2)≤λf(x1)+(1一λ)f(x2)，x1，x2∈[a，b]； ② ③ ④．f(x)为(a，b)上的连续函数．
admin
2015-07-04
32
问题
若f(x)为[a，b]上的有界凹函数，则下列结论成立：
①
λ∈[0，1]，f(λx
1
+(1一λ)x
2
)≤λf(x
1
)+(1一λ)f(x
2
)，x
1
，x
2
∈[a，b]；
②
③
④．f(x)为(a，b)上的连续函数．
选项
答案
先证(i)．由(1)有f(x)≥f(x
0
)+f’(x
0
)(x—x
0
)，分别取x=x
1
，x=x
2
，x
0
=λx
1
+(1一λ)x
2
，得到 f(x
1
)≥f(x
0
)+(1一λ)f’(x
0
)(x
1
一x
2
)， ① f(x
2
)≥f(x
0
)+λf’(x
0
)(x
2
一x
1
)， ② λ×①+(1一λ)×②得λf(x
1
)+(1—λ)f(x
2
)≥f(x
0
)=f(λx
<1/sub>+(1-λ)x
2
)，得证．(i)可写成[*]由归纳法即可得证(iii)，这里略去．(iii)中令[*]即得证(ii)．再证[*]，设G为｜f(x)｜的上界，取绝对值充分小的δ，m＜n，使得x
1
x
2
=…x
m
=x+nδ，x
m+1
=…=x
n
=x．由(ii)知[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/kow4777K
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