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若f(x)为[a,b]上的有界凹函数,则下列结论成立: ① λ∈[0,1],f(λx1+(1一λ)x2)≤λf(x1)+(1一λ)f(x2),x1,x2∈[a,b]; ② ③ ④.f(x)为(a,b)上的连续函数.
若f(x)为[a,b]上的有界凹函数,则下列结论成立: ① λ∈[0,1],f(λx1+(1一λ)x2)≤λf(x1)+(1一λ)f(x2),x1,x2∈[a,b]; ② ③ ④.f(x)为(a,b)上的连续函数.
admin
2015-07-04
43
问题
若f(x)为[a,b]上的有界凹函数,则下列结论成立:
①
λ∈[0,1],f(λx
1
+(1一λ)x
2
)≤λf(x
1
)+(1一λ)f(x
2
),x
1
,x
2
∈[a,b];
②
③
④.f(x)为(a,b)上的连续函数.
选项
答案
先证(i).由(1)有f(x)≥f(x
0
)+f’(x
0
)(x—x
0
),分别取x=x
1
,x=x
2
,x
0
=λx
1
+(1一λ)x
2
,得到 f(x
1
)≥f(x
0
)+(1一λ)f’(x
0
)(x
1
一x
2
), ① f(x
2
)≥f(x
0
)+λf’(x
0
)(x
2
一x
1
), ② λ×①+(1一λ)×②得λf(x
1
)+(1—λ)f(x
2
)≥f(x
0
)=f(λx
<1/sub>+(1-λ)x
2
),得证.(i)可写成[*]由归纳法即可得证(iii),这里略去.(iii)中令[*]即得证(ii).再证[*],设G为|f(x)|的上界,取绝对值充分小的δ,m<n,使得x
1
x
2
=…x
m
=x+nδ,x
m+1
=…=x
n
=x.由(ii)知[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/kow4777K
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考研数学一
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