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[2004年] 设矩阵的特征方程有一个二重根，求A的值，并讨论A是否可相似对角化?

admin2019-07-23  43
问题 [2004年] 设矩阵的特征方程有一个二重根，求A的值，并讨论A是否可相似对角化?
选项
答案(1)求a的值．A的特征多项式为 [*] 若λ1，2=2是特征方程的二重根，则可得到1+4+5=2+2+λ3，则λ3=6．于是A的特征值为2，2，6．易求得｜A｜=6(a+b)．再利用公式得 λ1λ2λ3=2×2×6一｜A｜=6(a+6)， 即 a=一2． 或者若λ=2是特征方程的二重根，由式①知，必有22一8×2+18+3a=0，解得a=一2． 若λ=2不是特征方程的二重根．设λ0为其二重根，则有2+λ0+λ0=1+4+5，即λ0=4．于是A的特征值为2，4，4．再得 2×4×4=｜A｜=6(a+6)， 解之得 a=一2／3． 或者，当λ=2不是特征方程的二重根时，则由式①知λ2一8λ+18+3a必为完全平方，即λ2一8λ+42=(λ一4)2．因而18+3a=16，解之得a=一2／3． (2)讨论A是否可相似对角化． 当a=一2时，A的特征值为2，2，6，易求得特征矩阵2E—A的秩为1，故二重特征值λ=2对应的线性无关的特征向量有2个，知A可相似对角化． 当a=一2／3时，A的特征值为2，4，4，易求得特征矩阵4E—A的秩为2．故二重特征值λ=4对应的线性无关的特征向量只有1个，知A不可相似对角化．
解析
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考研数学一

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