[2004年] 设矩阵的特征方程有一个二重根,求A的值,并讨论A是否可相似对角化?

admin2019-07-23  28

问题 [2004年] 设矩阵的特征方程有一个二重根,求A的值,并讨论A是否可相似对角化?

选项

答案(1)求a的值.A的特征多项式为 [*] 若λ1,2=2是特征方程的二重根,则可得到1+4+5=2+2+λ3,则λ3=6.于是A的特征值为2,2,6.易求得|A|=6(a+b).再利用公式得 λ1λ2λ3=2×2×6一|A|=6(a+6), 即 a=一2. 或者若λ=2是特征方程的二重根,由式①知,必有22一8×2+18+3a=0,解得a=一2. 若λ=2不是特征方程的二重根.设λ0为其二重根,则有2+λ00=1+4+5,即λ0=4.于是A的特征值为2,4,4.再得 2×4×4=|A|=6(a+6), 解之得 a=一2/3. 或者,当λ=2不是特征方程的二重根时,则由式①知λ2一8λ+18+3a必为完全平方,即λ2一8λ+42=(λ一4)2.因而18+3a=16,解之得a=一2/3. (2)讨论A是否可相似对角化. 当a=一2时,A的特征值为2,2,6,易求得特征矩阵2E—A的秩为1,故二重特征值λ=2对应的线性无关的特征向量有2个,知A可相似对角化. 当a=一2/3时,A的特征值为2,4,4,易求得特征矩阵4E—A的秩为2.故二重特征值λ=4对应的线性无关的特征向量只有1个,知A不可相似对角化.

解析
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