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[2004年] 设矩阵的特征方程有一个二重根,求A的值,并讨论A是否可相似对角化?
[2004年] 设矩阵的特征方程有一个二重根,求A的值,并讨论A是否可相似对角化?
admin
2019-07-23
44
问题
[2004年] 设矩阵
的特征方程有一个二重根,求A的值,并讨论A是否可相似对角化?
选项
答案
(1)求a的值.A的特征多项式为 [*] 若λ
1,2
=2是特征方程的二重根,则可得到1+4+5=2+2+λ
3
,则λ
3
=6.于是A的特征值为2,2,6.易求得|A|=6(a+b).再利用公式得 λ
1
λ
2
λ
3
=2×2×6一|A|=6(a+6), 即 a=一2. 或者若λ=2是特征方程的二重根,由式①知,必有2
2
一8×2+18+3a=0,解得a=一2. 若λ=2不是特征方程的二重根.设λ
0
为其二重根,则有2+λ
0
+λ
0
=1+4+5,即λ
0
=4.于是A的特征值为2,4,4.再得 2×4×4=|A|=6(a+6), 解之得 a=一2/3. 或者,当λ=2不是特征方程的二重根时,则由式①知λ
2
一8λ+18+3a必为完全平方,即λ
2
一8λ+4
2
=(λ一4)
2
.因而18+3a=16,解之得a=一2/3. (2)讨论A是否可相似对角化. 当a=一2时,A的特征值为2,2,6,易求得特征矩阵2E—A的秩为1,故二重特征值λ=2对应的线性无关的特征向量有2个,知A可相似对角化. 当a=一2/3时,A的特征值为2,4,4,易求得特征矩阵4E—A的秩为2.故二重特征值λ=4对应的线性无关的特征向量只有1个,知A不可相似对角化.
解析
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考研数学一
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