设A是3阶实对称矩阵，满足A3=2A2+5A一6E，且kE+A是正定阵，则k的取值范围是________．

admin2019-03-18 37

问题设A是3阶实对称矩阵，满足A³=2A²+5A一6E，且kE+A是正定阵，则k的取值范围是________．

选项

答案k＞2

解析根据题设条件，则有A³一2A²一5A+6E=O，设A有特征值λ，则λ满足条件λ³一2λ²一5λ+6=0，将其因式分解可得λ³一2λ²一5λ+6=(λ一1)(λ+2)(λ一3)=0，因此可知矩阵A的特征值分别为1，一2，3，故kE+A的特征值分别为k+1，k一2，k+3，且当k＞2时，kE+A的特征值均为正数．故k＞2．

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