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设A是3阶实对称矩阵,满足A3=2A2+5A一6E,且kE+A是正定阵,则k的取值范围是________.
设A是3阶实对称矩阵,满足A3=2A2+5A一6E,且kE+A是正定阵,则k的取值范围是________.
admin
2019-03-18
27
问题
设A是3阶实对称矩阵,满足A
3
=2A
2
+5A一6E,且kE+A是正定阵,则k的取值范围是________.
选项
答案
k>2
解析
根据题设条件,则有A
3
一2A
2
一5A+6E=O,设A有特征值λ,则λ满足条件λ
3
一2λ
2
一5λ+6=0,将其因式分解可得λ
3
一2λ
2
一5λ+6=(λ一1)(λ+2)(λ一3)=0,因此可知矩阵A的特征值分别为1,一2,3,故kE+A的特征值分别为k+1,k一2,k+3,且当k>2时,kE+A的特征值均为正数.故k>2.
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考研数学二
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