(2014年)设函数f(u)具有2阶连续导数，z＝f(eχcosy)满足＝(4z＋eχcosy)e2χ 若f(0)＝0，f′(0)＝0，求f(u)的表达式．

admin2019-08-01 76

问题 (2014年)设函数f(u)具有2阶连续导数，z＝f(e^χcosy)满足

＝(4z＋e^χcosy)e^2χ
若f(0)＝0，f′(0)＝0，求f(u)的表达式．

选项

答案令e^χcosy＝u，则 [*] 将以上两个式子代入[*]＝(4z＋e^χcosy)e^2χ得 f〞(u)＝4f(u)＋u 即f〞(u)－4f(u)＝U 以上方程对应的齐次方程的特征方程为r²－4＝0，特征根为r＝±2，齐次方程的通解为 f(u)＝C₁e^2u＋C₂e^－2u 设非齐次方程的特解为f^*＝au＋b，代入非齐次方程得a＝－[*]，b＝0．则原方程的通解为f(u)＝C₁e^2u＋C₂e^－2u－[*]u 由f(0)＝0，f′(0)＝0得[*]，则 f(u)＝[*](e^2u－e^－2u－4u)

解析

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考研数学二

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设常数α＞0，I1=则
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在上半平面求一条凹曲线(图6．2)，使其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．
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