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设在上半平面D={(x,y)|y>0}内,函数f(x,y)具有连续偏导数,且对任意的t>0都有f(tx,ty)=t—2f(x,y)。证明对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有—xf(x,y)dy=0。
设在上半平面D={(x,y)|y>0}内,函数f(x,y)具有连续偏导数,且对任意的t>0都有f(tx,ty)=t—2f(x,y)。证明对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有—xf(x,y)dy=0。
admin
2018-12-29
41
问题
设在上半平面D={(x,y)|y>0}内,函数f(x,y)具有连续偏导数,且对任意的t>0都有f(tx,ty)=t
—2
f(x,y)。证明对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有
—xf(x,y)dy=0。
选项
答案
在等式f(tx,ty)=t
—2
f(x,y)两边对t求导得 xf′
1
(tx,ty)+yf′
2
(tx,ty)= —2t
—3
f(x,y), 令t=1,则 xf′
1
(x,y)+yf′
2
(x,y)= —2f(x,y), (1) 设P(x,y)=yf(x,y),Q(x,y)= —xf(x,y),则 [*] 则由(1)可得[*] 由曲线积分与路径无关的定理可知,对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有 [*]
解析
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考研数学一
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