设在上半平面D={(x，y)｜y＞0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t＞0都有f(tx，ty)=t—2f(x，y)。证明对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有—xf(x，y)dy=0。

admin2018-12-29 37

问题设在上半平面D={(x，y)｜y＞0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t＞0都有f(tx，ty)=t^—2f(x，y)。证明对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有

—xf(x，y)dy=0。

选项

答案在等式f(tx，ty)=t^—2f(x，y)两边对t求导得 xf′₁(tx，ty)+yf′₂(tx，ty)= —2t^—3f(x，y)，令t=1，则 xf′₁(x，y)+yf′₂(x，y)= —2f(x，y)， (1) 设P(x，y)=yf(x，y)，Q(x，y)= —xf(x，y)，则 [*] 则由(1)可得[*] 由曲线积分与路径无关的定理可知，对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有 [*]

解析

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