设A为2阶矩阵，α为非零向量，但不是A的特征向量，且满足A2α+Aα-2α=0，试证 α，Aα线性无关；

admin2021-02-25 69

问题设A为2阶矩阵，α为非零向量，但不是A的特征向量，且满足A²α+Aα-2α=0，试证
α，Aα线性无关；

选项

答案设k₁，k₂，使得k₁α₁+k₂Aα=0，若k₂=0[*]k₁α=0，而α≠0，所以k₁=0，若[*]是A的特征向量，这与已知矛盾．综上，可得k₁=k₂=0，所以α，Aα线性无关．

解析本题主要考查方阵相似对角矩阵的条件．用向量组线性无关的定义可证得α，Aα线性无关；再由A²α+Aα-2α=0有非零解确定A的特征值，由于特征值各不相同，故方阵A可对角化．

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