设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关的列向量组，且满足Aα1=α1+2α2一α3，Aα2=α1+α3，Aα3=一α1+α2，则A的特征值为_______．

admin2020-10-21 56

问题设A是3阶矩阵，α₁，α₂，α₃是3维线性无关的列向量组，且满足Aα₁=α₁+2α₂一α₃，Aα₂=α₁+α₃，Aα₃=一α₁+α₂，则A的特征值为_______．

选项

答案一2，2，1

解析因为Aα₁=α₁+2α₂一α₃， Aα₂=α₁+α₃， Aα₃=一α₁+α，
所以 A(α₁，α₂，α₃)=(Aα₁，Aα₂，Aα₃)
=(α₁，α₂，α₃)

记C=(α₁，α₂，α₃)，则C可逆，且AC=CB，C^-1AC=B，
其中B=

，即A与B相似，从而A，B具有相同的特征值．
又｜λE—B｜=

=(λ+2)(λ—2)(λ一1)，
由｜λE—B｜=0，得B的特征值为一2，2，1，也是A的特征值．

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