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  3. 设函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，则( )

设函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，则( )

admin2019-11-06  8
问题 设函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，则(    )
选项 A、 函数必是奇函数。
B、函数必是奇函数。
C、函数必是奇函数。
D、 函数必是奇函数。
答案A
解析 方法一：令F(x)＝x2[f(x)＋f(－x)]，由题设知F(x)是(－∞，＋∞)上的连续函数，且F(－x)＝(－x)2[f(－x)＋f(x)]＝X2[f(x)＋f(－x)]=F(x)，
即F(x)是偶函数，于是对任意的x∈(－∞，＋∞)，

满足

即G(x)是奇函数。故选(A)。
方法二：可举例说明选项(B)、(C)、(D)都不正确。为此设f(x)＝x，于是x2[f(x)－f(－x)]＝X2[x－(－x)]=2x3，
故

它们都是(－∞，＋∞)上的偶函数，这表明选项(B)、(C)、(D)都不正确。故选(A)。
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考研数学一

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