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(Ⅰ)设非负函数f(χ)在区间[0,1]上连续且单调非增,常数a与b满足0<a<b≤1.求证:∫0af(χ)dχ≥∫abf(χ)dχ; (Ⅱ)(1)对χ>0,χ0>0,证明:lnχ<lnχ0+(χ-χ0) (2)设u(t)在[a,b]上连续
(Ⅰ)设非负函数f(χ)在区间[0,1]上连续且单调非增,常数a与b满足0<a<b≤1.求证:∫0af(χ)dχ≥∫abf(χ)dχ; (Ⅱ)(1)对χ>0,χ0>0,证明:lnχ<lnχ0+(χ-χ0) (2)设u(t)在[a,b]上连续
admin
2020-03-05
26
问题
(Ⅰ)设非负函数f(χ)在区间[0,1]上连续且单调非增,常数a与b满足0<a<b≤1.求证:∫
0
a
f(χ)dχ≥
∫
a
b
f(χ)dχ;
(Ⅱ)(1)对
χ>0,χ
0
>0,证明:lnχ<lnχ
0
+
(χ-χ
0
)
(2)设u(t)在[a,b]上连续,u(t)>0,证明:
选项
答案
由函数f(χ)的连续性与积分中值定理可得,分别存在ξ∈(0,a)与η∈(a,b),使得 ∫
0
a
f(χ)dχ=af(ξ),∫
a
b
f(χ)dχ=(b-a)f(η), 利用函数f(χ)在区间[0,1]上单调非增与ξ<η可得f(ξ)≥f(η),即 [*]∫
0
a
f(χ)=f(ξ)≥f(η)=[*]∫
a
b
f(χ)dχ. 因为a>0且f(χ)≥0,所以 ∫
a
b
f(χ)dχ≥[*]∫
a
b
f(χ)dχ≥[*]∫
a
b
f(χ)dχ. (Ⅱ)(1)由泰勒公式有 lnχ=lnχ
0
+[*](χ-χ
0
)-[*](χ-χ
0
)
2
,其中ξ介于χ与χ
0
之间. 从而有lnχ<lnχ
0
+[*](χ-χ
0
). (2)即证(b-a)ln([*]∫
a
b
u(t)dt)≥∫
a
b
lnu(t)dt即∫
a
b
ln([*]∫
a
b
u(t)dt)dt≥∫
a
b
lnu(t)dt 将χ=u(t)与χ
0
=[*]∫
a
b
u(t)dt代入上式,并将两端在[a,b]上取积分,注意到u(t)>0,b>a, 可知χ
0
>0,则有 ∫
a
b
lnχdt<lnχ
0
.(b-a)+[*](χ-χ
0
)dt, [*] 因此有[*]
解析
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0
考研数学一
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