2. 考研
  3. (Ⅰ)设非负函数f(χ)在区间[0，1]上连续且单调非增，常数a与b满足0＜a＜b≤1．求证：∫0af(χ)dχ≥∫abf(χ)dχ； (Ⅱ)(1)对χ＞0，χ0＞0，证明：lnχ＜lnχ0＋(χ－χ0) (2)设u(t)在[a，b]上连续

(Ⅰ)设非负函数f(χ)在区间[0，1]上连续且单调非增，常数a与b满足0＜a＜b≤1．求证：∫0af(χ)dχ≥∫abf(χ)dχ； (Ⅱ)(1)对χ＞0，χ0＞0，证明：lnχ＜lnχ0＋(χ－χ0) (2)设u(t)在[a，b]上连续

admin2020-03-05  25
问题 (Ⅰ)设非负函数f(χ)在区间[0，1]上连续且单调非增，常数a与b满足0＜a＜b≤1．求证：∫0af(χ)dχ≥∫abf(χ)dχ；
    (Ⅱ)(1)对χ＞0，χ0＞0，证明：lnχ＜lnχ0＋(χ－χ0)
    (2)设u(t)在[a，b]上连续，u(t)＞0，证明：
选项
答案由函数f(χ)的连续性与积分中值定理可得，分别存在ξ∈(0，a)与η∈(a，b)，使得 ∫0af(χ)dχ＝af(ξ)，∫abf(χ)dχ＝(b－a)f(η)， 利用函数f(χ)在区间[0，1]上单调非增与ξ＜η可得f(ξ)≥f(η)，即 [*]∫0af(χ)＝f(ξ)≥f(η)＝[*]∫abf(χ)dχ． 因为a＞0且f(χ)≥0，所以 ∫abf(χ)dχ≥[*]∫abf(χ)dχ≥[*]∫abf(χ)dχ． (Ⅱ)(1)由泰勒公式有 lnχ＝lnχ0＋[*](χ－χ0)－[*](χ－χ0)2，其中ξ介于χ与χ0之间． 从而有lnχ＜lnχ0＋[*](χ－χ0)． (2)即证(b－a)ln([*]∫abu(t)dt)≥∫ablnu(t)dt即∫abln([*]∫abu(t)dt)dt≥∫ablnu(t)dt 将χ＝u(t)与χ0＝[*]∫abu(t)dt代入上式，并将两端在[a，b]上取积分，注意到u(t)＞0，b＞a， 可知χ0＞0，则有 ∫ablnχdt＜lnχ0.(b－a)＋[*](χ－χ0)dt， [*] 因此有[*]
解析
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考研数学一

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