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  3. 设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵，证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n.

设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵，证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n.

admin2021-11-25  54
问题 设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵，证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n.
选项
答案因为(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，所以BTAB为对称矩阵。 设BTAB是正定矩阵，则对任意的X≠0 XTBTABX=(BX)TA(BX)＞0，所以BX≠0,即对任意的X≠0有BX≠0,或方程组BX=0只有零解，所以r(B)=n. 反之，设r(B)=n,则对任意的X≠0,有BX≠0 因为A为正定矩阵，所以XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)＞0，所以BTAB为正定矩阵。
解析
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考研数学二

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