设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵，证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n.

admin2021-11-25 47

问题设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵，证明：B^TAB正定的充分必要条件是r(B)=n.

选项

答案因为(B^TAB)^T=B^TA^T(B^T)^T=B^TAB，所以B^TAB为对称矩阵。设B^TAB是正定矩阵，则对任意的X≠0 X^TB^TABX=(BX)^TA(BX)＞0，所以BX≠0,即对任意的X≠0有BX≠0,或方程组BX=0只有零解，所以r(B)=n. 反之，设r(B)=n,则对任意的X≠0,有BX≠0 因为A为正定矩阵，所以X^T(B^TAB)X=(BX)^TA(BX)＞0，所以B^TAB为正定矩阵。

解析

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