设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵，证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n.

admin2021-11-25 30

问题设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵，证明：B^TAB正定的充分必要条件是r(B)=n.

选项

答案因为(B^TAB)^T=B^TA^T(B^T)^T=B^TAB，所以B^TAB为对称矩阵。设B^TAB是正定矩阵，则对任意的X≠0 X^TB^TABX=(BX)^TA(BX)＞0，所以BX≠0,即对任意的X≠0有BX≠0,或方程组BX=0只有零解，所以r(B)=n. 反之，设r(B)=n,则对任意的X≠0,有BX≠0 因为A为正定矩阵，所以X^T(B^TAB)X=(BX)^TA(BX)＞0，所以B^TAB为正定矩阵。

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/liy4777K

考研数学二

相关试题推荐

设A=（aij)n×n是非零矩阵，且|A|中每个元素aij与其代数余子式Aij相等。证明：|A|≠0.
设A，B都是三阶矩阵，A相似于B,且|E-A|=|E-2A|=E-3A|=0，则|B-1+2E|=________.
设D=,则A31+A32+A33=_________.
设向量组（I)a1,a2,a3；（II)a1,a2,a3,a4；(III）a1,a2,a3,a5,若向量组（I)与向量组（II）的秩为3，而向量组（III）的秩为4.证明：向量组a1,a2,a3,a5-a4的秩为4.
设A=(a1,a2,...,am)其中a1,a2,...,am是n维列向量，若对于任意不全为零的常数k1,k2,...,km,皆有k1a1+k2a2,...+kmam≠0,则（）。
设有三个线性无关的特征向量，求a及An.
若A可逆且A～B，证明：A*～B*.
设A是n阶正定矩阵，证明：对任意的可逆矩阵P,PTAP为正定矩阵。
设曲线y＝f(x)在[a，b]上连续，则曲线y＝f(x)，x＝a，x＝b及x轴所围成的图形的面积S＝[]．

随机试题

(2009年第38题)基因表达调控的基本控制点是
A．IUDB．阴茎套C．短效口服药D．长效避孕针Depo-proveraE．皮下埋植
患者谌某，身热多汗，心胸烦闷，气逆欲呕，口干喜饮，虚烦不寐，舌红少苔，脉虚数。治宜选用()
关于细菌性阴道病以下不正确的是
地面横坡缓于()时，清除地表草皮、腐殖土后，可直接在天然地面上填筑路堤。
受理复验的检验检疫机构或者国家质检总局应当自收到复验申请之日起90日内作出复验结论。(　　)
执行下列语句后,输出结果为______。inta=0,b=2,c=3;switch(a){case0:switch(b){case1:cout＜＜’*’;break;
Itwasaboldideatobuildapowerstationinthedeepvalley,butit______aswellaswehadhoped.
Whatistheproblemthatisnewlycomingupforthedrivers?
SummaryListentothepassage.Forquestions26—30,completethenotesusingnomorethanthreewordsforeachblank.ABritish

最新回复(0)

设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵，证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n.

考研数学二

设A=（aij)n×n是非零矩阵，且|A|中每个元素aij与其代数余子式Aij相等。证明：|A|≠0.

设A，B都是三阶矩阵，A相似于B,且|E-A|=|E-2A|=E-3A|=0，则|B-1+2E|=________.

设D=,则A31+A32+A33=_________.

设向量组（I)a1,a2,a3；（II)a1,a2,a3,a4；(III）a1,a2,a3,a5,若向量组（I)与向量组（II）的秩为3，而向量组（III）的秩为4.证明：向量组a1,a2,a3,a5-a4的秩为4.

设A=(a1,a2,...,am)其中a1,a2,...,am是n维列向量，若对于任意不全为零的常数k1,k2,...,km,皆有k1a1+k2a2,...+kmam≠0,则（）。

设有三个线性无关的特征向量，求a及An.

若A可逆且A～B，证明：A*～B*.

设A是n阶正定矩阵，证明：对任意的可逆矩阵P,PTAP为正定矩阵。

设曲线y＝f(x)在[a，b]上连续，则曲线y＝f(x)，x＝a，x＝b及x轴所围成的图形的面积S＝[]．

(2009年第38题)基因表达调控的基本控制点是

A．IUDB．阴茎套C．短效口服药D．长效避孕针Depo-proveraE．皮下埋植

患者谌某，身热多汗，心胸烦闷，气逆欲呕，口干喜饮，虚烦不寐，舌红少苔，脉虚数。治宜选用()

关于细菌性阴道病以下不正确的是

地面横坡缓于()时，清除地表草皮、腐殖土后，可直接在天然地面上填筑路堤。

受理复验的检验检疫机构或者国家质检总局应当自收到复验申请之日起90日内作出复验结论。( )

执行下列语句后,输出结果为______。inta=0,b=2,c=3;switch(a){case0:switch(b){case1:cout＜＜’*’;break;

Itwasaboldideatobuildapowerstationinthedeepvalley,butit______aswellaswehadhoped.

Whatistheproblemthatisnewlycomingupforthedrivers?

SummaryListentothepassage.Forquestions26—30,completethenotesusingnomorethanthreewordsforeachblank.ABritish

若A可逆且A～B，证明：A～B.

受理复验的检验检疫机构或者国家质检总局应当自收到复验申请之日起90日内作出复验结论。(　　)