2. 考研
  3. 设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵，证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n.

设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵，证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n.

admin2021-11-25  69
问题 设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵，证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n.
选项
答案因为(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，所以BTAB为对称矩阵。 设BTAB是正定矩阵，则对任意的X≠0 XTBTABX=(BX)TA(BX)＞0，所以BX≠0,即对任意的X≠0有BX≠0,或方程组BX=0只有零解，所以r(B)=n. 反之，设r(B)=n,则对任意的X≠0,有BX≠0 因为A为正定矩阵，所以XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)＞0，所以BTAB为正定矩阵。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/liy4777K
0

考研数学二

相关试题推荐
随机试题
最新回复(0)