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  3. 已知3阶矩阵A的第一行是(a b c)，a，b，c不全为零，矩阵B＝(k为常数)，且AB＝0，求线性方程组Ax＝0的通解．

已知3阶矩阵A的第一行是(a b c)，a，b，c不全为零，矩阵B＝(k为常数)，且AB＝0，求线性方程组Ax＝0的通解．

admin2014-01-26  147
问题 已知3阶矩阵A的第一行是(a  b  c)，a，b，c不全为零，矩阵B＝(k为常数)，且AB＝0，求线性方程组Ax＝0的通解．
选项
答案由AB＝0知，B的每一列均为Ax＝0的解，且r(A)＋r(B)≤3． (1)若k≠9，则r(B)＝2，于是r(A)≤1，显然r(A)≥1，故r(A)＝1．可见此时Ax＝0的基础解系所含解向量的个数为3＝r(A)＝2，矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax＝0的通解为：[*]，k1，k2为任意常数． (2)若k＝9，则r(B)＝1，从而1≤r(A)≤2． ①若r(A)＝2，则Ax＝0的通解为[*]，k1为任意常数． ②若r(A)＝1，则Ax＝0的同解方程组为ax1＋bx2＋cx3＝0，不妨设a≠0，则其通解为[*]，k1，k2为任意常数．
解析 [分析]  AB＝0，相当于已知B的每一列均为Ax＝0的解，关键问题是Ax＝0的基础解系所含解向量的个数为多少，这又转化为确定系数矩阵A的秩．
    [评注]  AB＝0这类已知条件是反复出现的，应该明确其引申含义：
1．B的每一列均为Ax＝0的解；
2．r(A)＋r(B)≤n．
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考研数学二

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