[2010年] 设存在正交矩阵Q使QTAQ为对角矩阵．若Q的第1列为求a，Q．

admin2021-01-25 40

问题 [2010年] 设

存在正交矩阵Q使Q^TAQ为对角矩阵．若Q的第1列为

求a，Q．

选项

答案因Q的第1列为[*]故A的特征值λ₁所对应的特征向量为[*][1，2，1]^T，于是有 [*] 由此可求得a=－1，λ₁=2．下面求A的特征值．由[*]可得到 [*] 故A的特征值为λ₁=2，λ₂=－4，λ₃=5．已求得属于λ₁=2的特征向量为α₁=[1，2，1]^T．易求得A的属于特征值λ₂=－4的特征向量为α₂=[－1，0，1]^T，属于λ₃=5的特征向量为α₃=[1，－1，1]^T．由于A为实对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量正交，只需单位化： [*] 令Q=[η₁，η₂，η₃]，则Q为正交矩阵，且使Q^TAQ=diag(2，－4，5)．

解析

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