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[2010年] 设存在正交矩阵Q使QTAQ为对角矩阵.若Q的第1列为求a,Q.
[2010年] 设存在正交矩阵Q使QTAQ为对角矩阵.若Q的第1列为求a,Q.
admin
2021-01-25
57
问题
[2010年] 设
存在正交矩阵Q使Q
T
AQ为对角矩阵.若Q的第1列为
求a,Q.
选项
答案
因Q的第1列为[*]故A的特征值λ
1
所对应的特征向量为[*][1,2,1]
T
,于是有 [*] 由此可求得a=-1,λ
1
=2.下面求A的特征值. 由[*]可得到 [*] 故A的特征值为λ
1
=2,λ
2
=-4,λ
3
=5.已求得属于λ
1
=2的特征向量为α
1
=[1,2,1]
T
.易求得A的属于特征值λ
2
=-4的特征向量为α
2
=[-1,0,1]
T
,属于λ
3
=5的特征向量为α
3
=[1,-1,1]
T
.由于A为实对称矩阵,对应于不同特征值的特征向量正交,只需单位化: [*] 令Q=[η
1
,η
2
,η
3
],则Q为正交矩阵,且使Q
T
AQ=diag(2,-4,5).
解析
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考研数学三
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