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  3. [2010年] 设存在正交矩阵Q使QTAQ为对角矩阵．若Q的第1列为求a，Q．

[2010年] 设存在正交矩阵Q使QTAQ为对角矩阵．若Q的第1列为求a，Q．

admin2021-01-25  79
问题 [2010年]  设存在正交矩阵Q使QTAQ为对角矩阵．若Q的第1列为求a，Q．
选项
答案因Q的第1列为[*]故A的特征值λ1所对应的特征向量为[*][1，2，1]T，于是有 [*] 由此可求得a=－1，λ1=2．下面求A的特征值． 由[*]可得到 [*] 故A的特征值为λ1=2，λ2=－4，λ3=5．已求得属于λ1=2的特征向量为α1=[1，2，1]T．易求得A的属于特征值λ2=－4的特征向量为α2=[－1，0，1]T，属于λ3=5的特征向量为α3=[1，－1，1]T．由于A为实对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量正交，只需单位化： [*] 令Q=[η1，η2，η3]，则Q为正交矩阵，且使QTAQ=diag(2，－4，5)．
解析
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考研数学三

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