[2010年] 设存在正交矩阵Q使QTAQ为对角矩阵.若Q的第1列为求a,Q.

admin2021-01-25  38

问题 [2010年]  设存在正交矩阵Q使QTAQ为对角矩阵.若Q的第1列为求a,Q.

选项

答案因Q的第1列为[*]故A的特征值λ1所对应的特征向量为[*][1,2,1]T,于是有 [*] 由此可求得a=-1,λ1=2.下面求A的特征值. 由[*]可得到 [*] 故A的特征值为λ1=2,λ2=-4,λ3=5.已求得属于λ1=2的特征向量为α1=[1,2,1]T.易求得A的属于特征值λ2=-4的特征向量为α2=[-1,0,1]T,属于λ3=5的特征向量为α3=[1,-1,1]T.由于A为实对称矩阵,对应于不同特征值的特征向量正交,只需单位化: [*] 令Q=[η1,η2,η3],则Q为正交矩阵,且使QTAQ=diag(2,-4,5).

解析
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