2. 考研
  3. 设二阶常系数线性微分方程y’’+αy’+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex，试确定常数α，β，γ，并求该方程的通解．

设二阶常系数线性微分方程y’’+αy’+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex，试确定常数α，β，γ，并求该方程的通解．

admin2019-05-08  108
问题 设二阶常系数线性微分方程y’’+αy’+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex，试确定常数α，β，γ，并求该方程的通解．
选项
答案将y=e2x+(1+x)ex代入方程可得(4+2α+β)e2x+(3+2α+β一γ)ex+(1+α+β)xex=0，因e2x，ex与xex线性无关(证明见评注)，故 [*] 于是所求方程是y’’一3y’+2y=一ex，因特征方程为λ2一3λ+2=0即特征根为λ1=2，λ2=1，则对应齐次微分方程的通解为C1e2x+C2e2x，由所给特解y=ex+(1+x)ex可见非齐次方程有一个特解为y*=xex．综合即得所求通解为y=C1e2x+C2ex+xex．
解析
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考研数学三

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