设f(χ)二阶可导，且＝0，f(1)＝1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得ξf〞(ξ)＋2f′(ξ)＝0．

admin2019-08-23 83

问题设f(χ)二阶可导，且

＝0，f(1)＝1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得ξf〞(ξ)＋2f′(ξ)＝0．

选项

答案由[*]＝0得f(0)＝1，f′(0)＝0， f(0)＝f(1)＝1，由罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得f′(c)＝0．令φ(χ)＝χ²f′(χ)，φ(0)＝φ(c)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，c)[*](0，1)，使得φ′(ξ)＝0，而φ′(χ)＝2χf′(χ)＋χ²f〞(χ)，于是2ξf′(ξ)＋ξ²f〞(ξ)＝0．再由ξ≠0得ξf〞(ξ)＋2f′(ξ)＝0．

解析

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考研数学二

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