2. 考研
  3. 设当x∈[－1，1，1]时，f(x)连续，F(x)＝∫－11｜x－t｜]f(t)dt，x∈[－1，1]． (I)若f(x)为偶函数，证明F(x)也是偶函数； (Ⅱ)若f(x)>0(－1≤x≤1)，证明曲线y＝F(x)在区间[－1，1]上是凹的．

设当x∈[－1，1，1]时，f(x)连续，F(x)＝∫－11｜x－t｜]f(t)dt，x∈[－1，1]． (I)若f(x)为偶函数，证明F(x)也是偶函数； (Ⅱ)若f(x)>0(－1≤x≤1)，证明曲线y＝F(x)在区间[－1，1]上是凹的．

admin2018-12-21  48
问题 设当x∈[－1，1，1]时，f(x)连续，F(x)＝∫－11｜x－t｜]f(t)dt，x∈[－1，1]．
(I)若f(x)为偶函数，证明F(x)也是偶函数；
(Ⅱ)若f(x)>0(－1≤x≤1)，证明曲线y＝F(x)在区间[－1，1]上是凹的．
选项
答案(I)因在区间[－1，1]上f(x)为连续的偶函数，则 [*]∫1－1｜x－u｜f(－u)(－du)＝∫－11｜x－u｜f(u)du＝F(x)， 所以F(x)也是偶函数． (Ⅱ)F(x)＝∫－1x(x－t)f(t)dt﹢｜(t－x)f(t)dt ＝x∫－1xf(t)dt－∫－1xtf(t)dt﹢∫x1tf(t)－x∫x1f(t)dt， F’(x)＝∫－1xf(t)dt﹢xf(x)－f(x)－xf(x)－∫x1f(t)dt﹢xf(x) ＝∫－1xf(t)dt－∫x1f(t)dt， F”(x)＝f(x)﹢f(x)＝2f(x)﹥0． 所以曲线y＝F(x)在区间[－1，1]上是凹的．
解析
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考研数学二

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