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设当x∈[-1,1,1]时,f(x)连续,F(x)=∫-11|x-t|]f(t)dt,x∈[-1,1]. (I)若f(x)为偶函数,证明F(x)也是偶函数; (Ⅱ)若f(x)>0(-1≤x≤1),证明曲线y=F(x)在区间[-1,1]上是凹的.
设当x∈[-1,1,1]时,f(x)连续,F(x)=∫-11|x-t|]f(t)dt,x∈[-1,1]. (I)若f(x)为偶函数,证明F(x)也是偶函数; (Ⅱ)若f(x)>0(-1≤x≤1),证明曲线y=F(x)在区间[-1,1]上是凹的.
admin
2018-12-21
63
问题
设当x∈[-1,1,1]时,f(x)连续,F(x)=∫
-1
1
|x-t|]f(t)dt,x∈[-1,1].
(I)若f(x)为偶函数,证明F(x)也是偶函数;
(Ⅱ)若f(x)>0(-1≤x≤1),证明曲线y=F(x)在区间[-1,1]上是凹的.
选项
答案
(I)因在区间[-1,1]上f(x)为连续的偶函数,则 [*]∫
1
-1
|x-u|f(-u)(-du)=∫
-1
1
|x-u|f(u)du=F(x), 所以F(x)也是偶函数. (Ⅱ)F(x)=∫
-1
x
(x-t)f(t)dt﹢|(t-x)f(t)dt =x∫
-1
x
f(t)dt-∫
-1
x
tf(t)dt﹢∫
x
1
tf(t)-x∫
x
1
f(t)dt, F
’
(x)=∫
-1
x
f(t)dt﹢xf(x)-f(x)-xf(x)-∫
x
1
f(t)dt﹢xf(x) =∫
-1
x
f(t)dt-∫
x
1
f(t)dt, F
”
(x)=f(x)﹢f(x)=2f(x)﹥0. 所以曲线y=F(x)在区间[-1,1]上是凹的.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/N8j4777K
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考研数学二
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