设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2—2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形2y12+2y22+by32。求f在xTx=3下的最大值。

admin2019-01-13 53

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+x₂²+x₃²一2x₁x₂—2x₁x₃+2ax₂x₃通过正交变换化为标准形2y₁²+2y₂²+by₃²。
求f在x^Tx=3下的最大值。

选项

答案二次型f=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为2y₁²+2y₂²—y₃²。条件x^Tx=3等价于y^TQ^TQy=y₁²+y₂²+y₃²=3，此时f=2y₁²+2y₂²一y₃²=6—3y₃²的最大值为6，所以f在x^Tx=3下的最大值是6。

解析

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