设向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,且满足条件αTβ=0.记n阶矩阵A=αβT.求: 矩阵A的特征值和特征向量.

admin2018-07-26  37

问题 设向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,且满足条件αTβ=0.记n阶矩阵A=αβT.求:
矩阵A的特征值和特征向量.

选项

答案设λ为A的任一特征值,x(≠0)为对应的特征向量,则Ax=λx,两端左乘A,得A2x=λAx=λ2x,因为A2=O,所以λ2x=0,又x≠0,故λ=0.即矩阵A的特征值全为零. 不妨设向量α,β中分量a1≠0,b1≠0,对齐次方程组(0E-A)x=0的系数矩阵施行初等行变换: [*] 由此可得方程组(0E-A)X=0的基础解系为: α1=(-b2/b1,1,0,…,0)T,α2=(-b3/b1,0,1,…,0)T,…,αn-1=(-bn/b1,0,0,…,1)T 于是,A的属于特征值λ=0的全部特征向量为: c1α1+c2α2+…cn-1αn-1(c1,c2,…,cn-1是不全为零的任意常数).

解析 主要考查幂零方阵(即满足Am=O的方阵A,其中m为正整数)的特征值的计算及方阵特征向量的求法,注意α≠0,β≠0,故α,β的分量不全为零,而假设a1≠0,b1≠0,对于消元最为简单.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/mHW4777K
0

最新回复(0)