2. 考研
  3. 设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT．求： 矩阵A的特征值和特征向量．

设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT．求： 矩阵A的特征值和特征向量．

admin2018-07-26  26
问题 设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT．求：
矩阵A的特征值和特征向量．
选项
答案设λ为A的任一特征值，x(≠0)为对应的特征向量，则Ax=λx，两端左乘A，得A2x=λAx=λ2x，因为A2=O，所以λ2x=0，又x≠0，故λ=0．即矩阵A的特征值全为零． 不妨设向量α，β中分量a1≠0，b1≠0，对齐次方程组(0E－A)x=0的系数矩阵施行初等行变换： [*] 由此可得方程组(0E－A)X=0的基础解系为： α1=(－b2／b1，1，0，…，0)T，α2=(－b3／b1，0，1，…，0)T，…，αn－1=(－bn／b1，0，0，…，1)T 于是，A的属于特征值λ=0的全部特征向量为： c1α1+c2α2+…cn－1αn－1(c1，c2，…，cn－1是不全为零的任意常数)．
解析 主要考查幂零方阵(即满足Am=O的方阵A，其中m为正整数)的特征值的计算及方阵特征向量的求法，注意α≠0，β≠0，故α，β的分量不全为零，而假设a1≠0，b1≠0，对于消元最为简单．
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考研数学三

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