设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1－x)+f(1)x，则在[0，1]上( )．

admin2020-05-02 10

问题设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1－x)+f(1)x，则在[0，1]上( )．

选项 A、当f′(x)≥0时，f(x)≥g(x)
B、当f′(x)≥0时，f(x)≤g(x)
C、当f(x)≥0时，f(x)≥g(x)
D、当f(x)≥0时，f(x)≤g(x)

答案D

解析方法一  由曲线凹凸性的判定定理可知，当f"(x)≥0时，曲线y=f(x)是凹的．再由凹凸性的定义可知，对于区间上任意两点x₁，x₂及常数0≤λ≤1，恒有
            f[(1－λ)x₁+λx₂]≤(1－λ)f(x₁)+λf(x₂)
令x₁=0，x₂=1，λ=x，那么
            fx)=f[(1－λ)x₁+λx₂]≤(1－λ)f(x₁)+λf(x₂)=f(0)(1－x)+f(1)x=g(x)
也就是f(x)≤g(x)．
方法二  令 F(x)=f(x)－g(x)=f(x)－f(0)(1－x)－f(1)x
于是F(0)=F(1)=0，且F"(x)=f"(x)，故当f"(x)≥0时，曲线y=F(x)是凹的，此时，x∈[0，1]，即F(x)=f(x)一g(x)≤0，也就是f(x)≤g(x)．
方法三  由已知，得
   f(x)－g(x)=f(x)－f(0)(1－x)－f(1)x
            =(1－x)[f(x)－f(0)]+x[f(x)－f(1)]
            =(1－x)xf′(ξ₁)+x(x－1)f′(ξ₂) (ξ₁∈(0，x)，ξ₂∈(x，1))
            =(1－x)x[f′(ξ₁)－f′(ξ₂)]
            =(1－x)x(ξ₁－ξ₂)f"(ξ)≤0 (ξ∈(ξ₁，ξ ₂))

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