首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
A是n阶矩阵,数a≠b.证明下面3个断言互相等价: (1)(A-aE)(A-bE)=0. (2)r(A-aE)+r(A-bE)=n. (3)A相似于对角矩阵,并且特征值满足(λ-a)(λ-b)=0.
A是n阶矩阵,数a≠b.证明下面3个断言互相等价: (1)(A-aE)(A-bE)=0. (2)r(A-aE)+r(A-bE)=n. (3)A相似于对角矩阵,并且特征值满足(λ-a)(λ-b)=0.
admin
2018-06-27
9
问题
A是n阶矩阵,数a≠b.证明下面3个断言互相等价:
(1)(A-aE)(A-bE)=0.
(2)r(A-aE)+r(A-bE)=n.
(3)A相似于对角矩阵,并且特征值满足(λ-a)(λ-b)=0.
选项
答案
不妨设a和b都是A的特征值.(因为如果a不是A的特征值,则3个断言都推出A=bE.如果b不是A的特征值,则3个断言都推出A=aE.) (1)[*](2) 用关于矩阵的秩的性质,由(A-aE)(A-bE)=0.得到: r(A-aE)+r(A-bE)≤n, r(A-aE)+r(A-bE)≥r((A-aE)-(A-bE))=r((b-a)E)=n, 从而r(A-aE)+r(A-bE)=n. (2)[*](3) 记k
a
,k
b
分别是a,b的重数,则有 k
a
≥n-r(A-aE)① k
b
≥n-r(A-bE)② 两式相加得n≥k
a
+k
b
≥n-r(A-aE)+n-r(A-bE)=n,于是其中“≥”都为”=”,从而①和②都是等式,并且k
a
+k
b
=n. k
a
+k
b
=n,说明A的特征值只有a和b,它们都满足(λ-a)(λ-b)=0. ①和②都是等式,说明A相似于对角矩阵. (3)[*](1) A的特征值满足(λ-a)(λ-b)=0,说明A的特征值只有a和b.设B是和A相似的对角矩阵,则它的对角线上的元素都是a或b,于是(B-aE)(B-bE)=O.而(A-aE)(A-bE)相似于(B-aE)(B-bE),因此(A-aE)(A-bE)=0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/mZk4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
已知A是3阶矩阵,α1,α2,α3是3维线性无关列向量,且Aα1=3α1+3α2—2α3,Aα2=一α2,Aα3=8α1+6α2—5α2.求A的特征值和特征向量;
设曲线F的极坐标方程为r=eθ,则F在点处的法线的直角坐标方程是_________.
设x=Fcosθ,y=rsinθ.则直角坐标系xOy中的累次积分可化为极坐标系(r,θ)中的累次积分是____________.
设A是m×n矩阵,且方程组Ax=b有解,则
设则f(x,y)在点O(0,0)处()
设f(x)在(一∞,+∞)上存在二阶导数,f’(0)0.证明:若f(x)恰有两个零点,则此两零点必反号.
(2000年试题,八)设函f(x)在[0,π]上连续,且试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
“对任意给定的ε∈(0,1),总存在正整数N,当,n≥N时,恒有|xn-a|≤2ε”是数列{xn}收敛于a的
设0<k<1,f(x)=kx—arctanx.证明:f(x)在(0,+∞)中有唯一的零点,即存在唯一的x0∈(0,+∞),使f(x0)=0.
设f(x)可导,证明:f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f’(x)的零点.
随机试题
下图为某计算机主机示意图,各部分之间的连线表示数据通路,数据传送方向如箭头所示。简述取指令的数据通路。
C类IP地址可包含主机台数最多为_________。
肺心病患者高度水肿PaCO27.98kPa(60mmHg),心率114次/分,下列哪种治疗较为合理
足太阴脾经在胸部循行距前正中线旁开多少寸
乙杀丙,见丙痛苦不堪,心生悔意,欲将丙送医。路人甲劝阻乙救助丙,乙遂离开,丙死亡。关于甲的行为定性,下列哪一选项是正确的?()
将大型工程(),在竞争有一定充分性的条件下可能会获得更加有利的投标报价。
莫笑农家腊酒浑,_____。山重水复疑无路,_____。(陆游《游山西村》)(2)风急天高猿啸哀,_____。无边落木萧萧下,_____。(杜甫《登高》)
中国已成为世界第四大旅游目的地国,但我们的旅游纪念品产业发展尚不尽如人意,产品雷同、低档、缺乏创意者比比皆是,许多游客都抱怨买不到中意的旅游纪念品。有资料显示,我国旅游购物收入仅占旅游总收入的20%,而在世界发达国家,这一指标可达50%以上。偌大的一个市场
KellySortinohadatoughtimerecallingwhatshe’daccomplishedattheendofeachbusyworkday.Herjobasheadoftheupper
TheU.S.govemmentisopposedtothetransactionbecauseitisafraidthat______
最新回复
(
0
)