当x>0时,证明:

admin2020-03-10  26

问题 当x>0时,证明:

选项

答案方法一 令f(x)=([*]+1)ln(1+x)-2arctanx,f(0)=0. f’(x)=[*] 对([*]+1)2-2x+[*]-1,因为△=4-4([*]+1)([*]-1)=0且[*]+1>0, 所以([*]+1)x2-2x+[*]-1≥0,从而f’(x)≥0(x>0). 由[*],得f(x)≥f(0)=0(x>0),即[*](x>0). 方法二 令f(x)=arctanx,F(x)=ln(1+x),f’(x)=[*],F’(x)=[*], 显然f(0)=0,F(0)=0. 由柯西中值定理,存在ξ∈(0,x),使得 [*] 令φ(x)=[*],由φ’(x)=[*]=0,得x=[*]-1. 当x∈(0,[*]-1)时,f’(x)>0;当x∈([*]-1,+∞)时,f’(x)<0,则x=[*]-1 为φ(x)在(0,+∞)内的最大值点,最大值为M=φ[*], 所以[*].

解析
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