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  3. 设有平面闭区域，D={(x，y)|一a≤x≤a，x≤y≤a}，D1={(x，y)|0≤x≤a，x≤y≤a}，则(xy+cosxsiny)dxdy=( )

设有平面闭区域，D={(x，y)|一a≤x≤a，x≤y≤a}，D1={(x，y)|0≤x≤a，x≤y≤a}，则(xy+cosxsiny)dxdy=( )

admin2019-01-19  56
问题 设有平面闭区域，D={(x，y)|一a≤x≤a，x≤y≤a}，D1={(x，y)|0≤x≤a，x≤y≤a}，则(xy+cosxsiny)dxdy=(    )
选项 A、2cosxsinydxdy。
B、2xydxdy。
C、4(xy+cosxsiny)dxdy。
D、0。
答案A
解析 将闭区间D={(x，y)|一a≤x≤a，x≤y≤a}用直线y=一x将其分成两部分D1和D2，如图1-4-7所示，

其中D1关于y轴对称，D2关于x轴对称，xy关于x和y均为奇函数，所以在D1和D2上，均有xydxdy=0。
而cosxsiny是关于x的偶函数，关于y的奇函数，在D1积分不为零，在D2积分值为零，因此
cosisinydxdy=cosxsinydxdy+cosxsinvdxdy=0+2cosxsinydxdy。
所以
(xy+cosxsiny)dxdy=2cosxsinydxdy，
故选A。
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考研数学三

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