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  3. A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为|A|中元素aij的代数余子式，试证明： aij=AijATA=E且|A|=1；

A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为|A|中元素aij的代数余子式，试证明： aij=AijATA=E且|A|=1；

admin2019-01-13  33
问题 A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为|A|中元素aij的代数余子式，试证明：
aij=AijATA=E且|A|=1；
选项
答案当aij=Aij时，有AT=A*，则ATA=AA*=|A|E．由于A为n阶非零实矩阵，即aij不全为0，所以[*]而tr(AAT)=tr(|A|E)=n|A|，这说明|A|＞0．在AAT=|A|E两边取行列式，得|A|n-2=1，|A|=1． 反之，若ATA=E且|A|=1，则A*A=|A|E=E且A可逆，于是ATA=A*A，AT=A*，即aij=Aij．
解析
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考研数学二

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