A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为|A|中元素aij的代数余子式，试证明： aij=AijATA=E且|A|=1；

admin2019-01-13 63

问题 A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A_ij为|A|中元素a_ij的代数余子式，试证明：
a_ij=A_ij

A^TA=E且|A|=1；

选项

答案当a_ij=A_ij时，有A^T=A^*，则A^TA=AA^*=|A|E．由于A为n阶非零实矩阵，即a_ij不全为0，所以[*]而tr(AA^T)=tr(|A|E)=n|A|，这说明|A|＞0．在AA^T=|A|E两边取行列式，得|A|^n-2=1，|A|=1．反之，若A^TA=E且|A|=1，则A^*A=|A|E=E且A可逆，于是A^TA=A^*A，A^T=A^*，即a_ij=A_ij．

解析

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考研数学二

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