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A为n(n≥3)阶非零实矩阵,Aij为|A|中元素aij的代数余子式,试证明: aij=AijATA=E且|A|=1;
A为n(n≥3)阶非零实矩阵,Aij为|A|中元素aij的代数余子式,试证明: aij=AijATA=E且|A|=1;
admin
2019-01-13
87
问题
A为n(n≥3)阶非零实矩阵,A
ij
为|A|中元素a
ij
的代数余子式,试证明:
a
ij
=A
ij
A
T
A=E且|A|=1;
选项
答案
当a
ij
=A
ij
时,有A
T
=A
*
,则A
T
A=AA
*
=|A|E.由于A为n阶非零实矩阵,即a
ij
不全为0,所以[*]而tr(AA
T
)=tr(|A|E)=n|A|,这说明|A|>0.在AA
T
=|A|E两边取行列式,得|A|
n-2
=1,|A|=1. 反之,若A
T
A=E且|A|=1,则A
*
A=|A|E=E且A可逆,于是A
T
A=A
*
A,A
T
=A
*
,即a
ij
=A
ij
.
解析
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考研数学二
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