2. 考研
  3. (2015年)已知函数f(χ)在区间[α，＋∞)上具有2阶导数，f(a)＝0，f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0．设b＞a，曲线y＝f(χ)在点(b，f(b))处的切线与χ轴的交点是(χ0，0)，证明a＜χ0＜b．

(2015年)已知函数f(χ)在区间[α，＋∞)上具有2阶导数，f(a)＝0，f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0．设b＞a，曲线y＝f(χ)在点(b，f(b))处的切线与χ轴的交点是(χ0，0)，证明a＜χ0＜b．

admin2016-05-30  50
问题 (2015年)已知函数f(χ)在区间[α，＋∞)上具有2阶导数，f(a)＝0，f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0．设b＞a，曲线y＝f(χ)在点(b，f(b))处的切线与χ轴的交点是(χ0，0)，证明a＜χ0＜b．
选项
答案曲线y＝f(χ)在点(b，f(b))处的切线方程为 y－f(b)＝f′(b)(χ－b) 该切线与z轴交点处的χ坐标为χ＝b－[*]． 由于f′(χ)＞0，则f′(b)＞0，f(χ)单增，f(b)＞f(a)＞0，则 χ0＝b－[*]＜b 欲证χ0＞a，等价于证明b＝－[*]＞a，又f′(b)＞0，则等价于证明 f′(b)(b－a)＞(b) 事实上f(b)＝f(b)－f(a)＝f′(ξ)(b－a) a＜ξ＜b 由于f〞(χ)＞0，则f′(χ)单调增，从而f′(ξ)＜f′(b)，则 f(b)＝f′(ξ)(b－a)＜f′(b)(b－a) 原题得证．
解析
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考研数学二

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