设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(，0)。 (I)试求曲线L的方程；

admin2019-06-28 50

问题设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(

，0)。
(I)试求曲线L的方程；

选项

答案设曲线L过点P(x，y)的切线方程为Y一y=y^’(X一x)，令X=0，则Y=－xy^’+y，即它在y轴上的截距为－xy^’+y。根据距离公式，点P(x，y)到坐标原点的距离为[*]。故由题设条件得一xy^’+y=[*](x＞0)，即得 y^’=[*](x＞0)，此为一阶齐次微分方程，令y=μx，则[*]，代入上式，方程变为 [*]

解析

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