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  3. [2002年] 设齐次线性方程组 其中a≠0，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解、无穷多组解?在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．

[2002年] 设齐次线性方程组 其中a≠0，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解、无穷多组解?在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．

admin2019-04-15  104
问题 [2002年]  设齐次线性方程组
         
其中a≠0，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解、无穷多组解?在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．
选项
答案设方程组的系数矩阵为A，由式(2．1．1．1)知|A|=[a+(n－1)b](a－b)n-1． (1)当a≠b且a≠(1－n)b时，|A|≠0，方程组仅有零解． (2)当a=b时，对A进行初等行变换得到 [*] 由基础解系的简便求法，得该方程组的一个基础解系为 α1=[－1，1，0，…，0]T， α2=[－1，0，1，0，…，0]T，…，αn－1=[－1，0，…，0，1]T． 方程组的全部解为X=c1α1+c2α2+…+cn－1αn-1(c1，c2，…，cn-1为任意常数)． (3)当以=(1-n)b时，对A进行初等行变换得到 [*] 由基础解系的简便求法得到其基础解系为β=[1，1，…，1]T．方程组的全部解为X=Cβ，其中C为任意常数．
解析
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考研数学三

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