设2阶实对称矩阵A的特征值为λ1，λ2，且λ1≠λ2，α1，α2分别是A的对应于λ1，λ2的单位特征向量，则与矩阵A＋α1α1T相似的对角矩阵为( )

admin2021-04-07 47

问题设2阶实对称矩阵A的特征值为λ₁，λ₂，且λ₁≠λ₂，α₁，α₂分别是A的对应于λ₁，λ₂的单位特征向量，则与矩阵A＋α₁α₁^T相似的对角矩阵为( )

选项 A、
B、
C、
D、

答案C

解析因(α₁α₁^T)^T＝α₁α₁^T，故其为对称矩阵，又A为实对称矩阵，于是A＋α₁α₁^T为实对称矩阵，必可相似对角化，又Aα₁＝λ₁α₁，Aα₂＝λ₂α₂，且λ₁≠λ₂，故α₁⊥α₂，即α₁^Tα₂＝α₂^Tα₁，又α₁，α₂是单位特征向量，故α₁^Tα₁＝1，α₂^Tα₂＝1，于是
(A＋α₁α₁^T)α₁＝Aα₁＋α₁(α₁^Tα₁)＝λ₁α₁＋α₁＝(λ₁＋1)α₁，
(A＋α₁α₁^T)α₂＝Aα₂＋α₁(α₁^Tα₂)＝λ₂α₂，
即A＋α₁α₁^T的特征值为λ₁＋1，λ₂，从而存在可逆矩阵P＝(α₁，α₂)，使得
P^－1(A＋α₁α₁^T)P＝

故选C。

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考研数学二

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