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设2阶实对称矩阵A的特征值为λ1,λ2,且λ1≠λ2,α1,α2分别是A的对应于λ1,λ2的单位特征向量,则与矩阵A+α1α1T相似的对角矩阵为( )
设2阶实对称矩阵A的特征值为λ1,λ2,且λ1≠λ2,α1,α2分别是A的对应于λ1,λ2的单位特征向量,则与矩阵A+α1α1T相似的对角矩阵为( )
admin
2021-04-07
51
问题
设2阶实对称矩阵A的特征值为λ
1
,λ
2
,且λ
1
≠λ
2
,α
1
,α
2
分别是A的对应于λ
1
,λ
2
的单位特征向量,则与矩阵A+α
1
α
1
T
相似的对角矩阵为( )
选项
A、
B、
C、
D、
答案
C
解析
因(α
1
α
1
T
)
T
=α
1
α
1
T
,故其为对称矩阵,又A为实对称矩阵,于是A+α
1
α
1
T
为实对称矩阵,必可相似对角化,又Aα
1
=λ
1
α
1
,Aα
2
=λ
2
α
2
,且λ
1
≠λ
2
,故α
1
⊥α
2
,即α
1
T
α
2
=α
2
T
α
1
,又α
1
,α
2
是单位特征向量,故α
1
T
α
1
=1,α
2
T
α
2
=1,于是
(A+α
1
α
1
T
)α
1
=Aα
1
+α
1
(α
1
T
α
1
)=λ
1
α
1
+α
1
=(λ
1
+1)α
1
,
(A+α
1
α
1
T
)α
2
=Aα
2
+α
1
(α
1
T
α
2
)=λ
2
α
2
,
即A+α
1
α
1
T
的特征值为λ
1
+1,λ
2
,从而存在可逆矩阵P=(α
1
,α
2
),使得
P
-1
(A+α
1
α
1
T
)P=
故选C。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/nEy4777K
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