2. 考研
  3. 设2阶实对称矩阵A的特征值为λ1，λ2，且λ1≠λ2，α1，α2分别是A的对应于λ1，λ2的单位特征向量，则与矩阵A＋α1α1T相似的对角矩阵为( )

设2阶实对称矩阵A的特征值为λ1，λ2，且λ1≠λ2，α1，α2分别是A的对应于λ1，λ2的单位特征向量，则与矩阵A＋α1α1T相似的对角矩阵为( )

admin2021-04-07  69
问题 设2阶实对称矩阵A的特征值为λ1，λ2，且λ1≠λ2，α1，α2分别是A的对应于λ1，λ2的单位特征向量，则与矩阵A＋α1α1T相似的对角矩阵为(    )
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案C
解析 因(α1α1T)T＝α1α1T，故其为对称矩阵，又A为实对称矩阵，于是A＋α1α1T为实对称矩阵，必可相似对角化，又Aα1＝λ1α1，Aα2＝λ2α2，且λ1≠λ2，故α1⊥α2，即α1Tα2＝α2Tα1，又α1，α2是单位特征向量，故α1Tα1＝1，α2Tα2＝1，于是
(A＋α1α1T)α1＝Aα1＋α1(α1Tα1)＝λ1α1＋α1＝(λ1＋1)α1，
(A＋α1α1T)α2＝Aα2＋α1(α1Tα2)＝λ2α2，
即A＋α1α1T的特征值为λ1＋1，λ2，从而存在可逆矩阵P＝(α1，α2)，使得
P－1(A＋α1α1T)P＝
故选C。
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考研数学二

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