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为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底抓起污泥后提出井口(见图1.3.5.13),已知井深30 m,抓斗自重400 N,缆绳每米重50 N,抓斗抓起的污泥重2000 N,提升速度为3 m/s,在提升过程中,污泥以20 N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起
为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底抓起污泥后提出井口(见图1.3.5.13),已知井深30 m,抓斗自重400 N,缆绳每米重50 N,抓斗抓起的污泥重2000 N,提升速度为3 m/s,在提升过程中,污泥以20 N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起
admin
2019-08-01
42
问题
为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底抓起污泥后提出井口(见图1.3.5.13),已知井深30 m,抓斗自重400 N,缆绳每米重50 N,抓斗抓起的污泥重2000 N,提升速度为3 m/s,在提升过程中,污泥以20 N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需做多少焦耳的功?(说明:①1 N×l m=1 J;m,N,s,J分别表示米,牛顿,秒,焦耳;②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)
选项
答案
所求的功应分为三部分:W
1
是克服抓斗自重做功,是常力做功;W
2
是克服缆绳重力做功,由于缆绳的长度随时间增长而缩短,是变力做功;W
3
为提出污泥而做功,由于污泥随时间增加而变少,也是变力做功,需用定积分求解. 解一 作x轴如图1.3.5.13所示,将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功W=W
1
+W
2
+W
3
,其中W
1
是克服抓斗自重所做的功,W
2
是克服缆绳重力所做的功,W
3
为提出污泥所做的功.依题意,得 W
1
=400×30=1 2000(J). 将抓斗由x处提升到x+dx处,克服缆绳重力所做的功元素为dW
2
=50(30一x)dx,故 W
2
=∫
0
30
50(30一x)dx=22500(J). 在时间间隔[t,t+dt]内提升污泥需做的功元素为dW
3
=3(2000一20t)dt,将污泥从井底提升至井口共需时间30/3=10 s,所以 W
3
=∫
0
10
3(2000—20t)dt=57000(J). 因此,共需做功 W=l2000+22500+5 7000=91500(J). 解二 在时间段[t,t+Δt]内做的功用微元分析法可表示为 ΔW≈dW=[400+(2000—20t)+50(30—3t)]·3dt=30(390—l7t)dt. 抓起污泥的抓斗提升至井口所需时间为30/3=10(s).因此克服重力需做功 W=∫
0
10
dW=∫
0
10
30(390一17t)dt=91500(J).
解析
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考研数学二
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