2. 考研
  3. 设奇函数f(x)在[－1，1]上二阶可导，且f(1)=l，证明： (1)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1；(2)存在η∈(－1，1)，使得f"(η)+f’(η)=1．

设奇函数f(x)在[－1，1]上二阶可导，且f(1)=l，证明： (1)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1；(2)存在η∈(－1，1)，使得f"(η)+f’(η)=1．

admin2022-06-30  63
问题 设奇函数f(x)在[－1，1]上二阶可导，且f(1)=l，证明：
    (1)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1；(2)存在η∈(－1，1)，使得f"(η)+f’(η)=1．
选项
答案(1)令h(x)=f(x)－x， 因为f(x)在[－1，1]上为奇函数，所以f(0)=0， 从而h(0)=0，h(1)=0， 由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得h’(ξ)=0， 而h’(x)=f’(x)－1，故ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1． (2)令φ(x)=ex[f’(x)－1]， 因为f(x)为奇函数，所以f’(x)为偶函数，由f’(ξ)=1得f’(－ξ)=1． 因为φ(－ξ)=φ(ξ)，所以存在η∈(－ξ，ξ)[*](－1，1)，使得φ’(η)=0， 而φ’(x)=ex[f"(x)+f’(x)－1]且ex≠0， 故f"(η)+f’(η)=1．
解析
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考研数学二

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