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  3. 已知线性方程组 有解(1，-1，1，-1)T。 (Ⅰ)用导出组的基础解系表示通解； (Ⅱ)写出x=x时的全部解。

已知线性方程组 有解(1，-1，1，-1)T。 (Ⅰ)用导出组的基础解系表示通解； (Ⅱ)写出x=x时的全部解。

admin2018-01-26  112
问题 已知线性方程组

有解(1，-1，1，-1)T。
    (Ⅰ)用导出组的基础解系表示通解；
    (Ⅱ)写出x=x时的全部解。
选项
答案将(1，-1，1，-1)T代入第1个方程，可得λ=μ。 (Ⅰ)已知方程组的一个特解为(1，-1，1，-1)T，因此只需求出导出组的基础解系即可写出通解。 对系数矩阵作初等行变换： [*] 如果2λ-1=0，则 [*] 于是得(1，-3，1，0)T和([*]，-1，0，1)T为导出组的基础解系，因此通解为 (1，-1，1，-1)T+c1(1，-3，1，0)T+c2([*]，-1，0，1)T，c1，c2是任意常数。 如果2λ-1≠0，则 [*] 即得(-1，[*]，1)T为导出组的基础解系，此时通解为 (1，-1，1，-1)T+c(-1，[*]，1)T，c是任意常数。 (Ⅱ)当2λ-1=0时，由已知条件x2=x3及(Ⅰ)中结论，则有 -1-3c1-c2=1+c1， 从而c2=-2-4c1，此时通解为 (2，1，1，-3)T+c1(3，1，1，-4)T。 当2λ-1≠0时，由(Ⅰ)中结果，并结合已知条件x2=x3，则有 [*] 得c=2，此时通解为(-1，0，0，1)T。
解析
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考研数学一

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