已知线性方程组有解(1，-1，1，-1)T。 (Ⅰ)用导出组的基础解系表示通解； (Ⅱ)写出x=x时的全部解。

admin2018-01-26 71

问题已知线性方程组

有解(1，-1，1，-1)^T。
(Ⅰ)用导出组的基础解系表示通解；
(Ⅱ)写出x=x时的全部解。

选项

答案将(1，-1，1，-1)^T代入第1个方程，可得λ=μ。 (Ⅰ)已知方程组的一个特解为(1，-1，1，-1)^T，因此只需求出导出组的基础解系即可写出通解。对系数矩阵作初等行变换： [*] 如果2λ-1=0，则 [*] 于是得(1，-3，1，0)^T和([*]，-1，0，1)^T为导出组的基础解系，因此通解为 (1，-1，1，-1)^T+c₁(1，-3，1，0)^T+c₂([*]，-1，0，1)^T，c₁，c₂是任意常数。如果2λ-1≠0，则 [*] 即得(-1，[*]，1)^T为导出组的基础解系，此时通解为 (1，-1，1，-1)^T+c(-1，[*]，1)^T，c是任意常数。 (Ⅱ)当2λ-1=0时，由已知条件x₂=x₃及(Ⅰ)中结论，则有 -1-3c₁-c₂=1+c₁，从而c₂=-2-4c₁，此时通解为 (2，1，1，-3)^T+c₁(3，1，1，-4)^T。当2λ-1≠0时，由(Ⅰ)中结果，并结合已知条件x₂=x₃，则有 [*] 得c=2，此时通解为(-1，0，0，1)^T。

解析

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考研数学一

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设X，Y，Z是三个两两不相关的随机变量，数学期望全为零，方差都是1，求X-Y和Y—Z的相关系数．

设总体服从U[0，θ]，X1，X2，…，Xn为总体的样本．证明：为θ的一致估计．

已知y=y(x)是微分方程(x2+y2)dy=dx—dy的任意解，并在y=y(x)的定义域内取x0，记y0=y(x0)．(1)证明：；(2)证明：均存在．

设有两个非零矩阵A=[a1，a2，…，an]T，B=[b1，b2，…，bn]T．求矩阵ABT的秩r(ABT)；

已知r(A)=r1，且方程组Ax=α有解r(B)=r2，=R(B)=R2无解，设A=[α1，α2，…，αN]，B=[β1β2……βn]，且r(α1,α2……αn，β1β2……βn，β)=r，则()

设向量α=[a1,a2……an]T，β=[b1,b2……bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求：A2；

λ为何值时，方程组无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解．

设三元非齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为1，已知η1，η2,η3是它的三个解向量，且η1+η2=[1，2，3]T,η2+η3=[2，一1，1]T，η3+η1=[0，2，0]T，求该非齐次方程的通解．

设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且在(a，b)内有f’(x)＞0．证明：在(a，b)内存在唯一的ξ，使曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ)，x=a所围平面图形面积S1是曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ)，x=b所围平面图形面积S2的3倍．

如果A是一个r行n列的其秩为r的矩阵，A的所有行向量形成一个齐次线性方程组的基础解系，而B是一个任意r阶可逆矩阵，则矩阵BA的所有行向量也形成该齐次线性方程组的基础解系。

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