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设f(x)在区间(一∞,+∞)内连续,且当x(1+x)≠0时, 讨论f(x)的单调区间、极值.
设f(x)在区间(一∞,+∞)内连续,且当x(1+x)≠0时, 讨论f(x)的单调区间、极值.
admin
2018-08-22
73
问题
设f(x)在区间(一∞,+∞)内连续,且当x(1+x)≠0时,
讨论f(x)的单调区间、极值.
选项
答案
考虑f(x)的单调性.当x≠一1且x≠0时,有 [*] 令g(x)=(1+x)ln
2
|1+x|—x
2
,有g(0)=0,并且可得 g’(x)=2ln|1+x|+ln
2
|1+x|一2x,有g’(0)=0, [*] 由泰勒公式,有 [*] 又g(0)=0.所以当x>一1且x≠0时f’(x)<0.又因f(x)在x=0处连续,所以f(x)在区间(一1,+∞)内严格单调减少. 此外,由f’(x)的表达式 [*] 直接可知,当x<一1时,分子小于0,分母亦小于0,所以f’(x)>0.从而知f(x)在区间(一∞,一1)内严格单调增加. 所以f(一1)=1是f(x)的极大值,也是唯一的极值.
解析
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考研数学二
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