设A是三阶实矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是三个对应的特征向量，证明：当λ2λ3≠0时，向量组ξ1，A(ξ1+ξ2)，A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关．

admin2015-08-14 34

问题设A是三阶实矩阵，λ₁，λ₂，λ₃是A的三个不同的特征值，ξ₁，ξ₂，ξ₃是三个对应的特征向量，证明：当λ₂λ₃≠0时，向量组ξ₁，A(ξ₁+ξ₂)，A²(ξ₁+ξ₂+ξ₃)线性无关．

选项

答案因[ξ₁，A(ξ₁+ξ₂)，A²(ξ₁+ξ₂+ξ₃)]=[ξ₁，λ₁ξ₁+λ₂ξ₂，λ₁²ξ₁+λ₂²ξ₂+λ₃²ξ₃]=[ξ₁，ξ₂，ξ₃][*] 因λ₁≠λ₂≠λ₃，故ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关，由上式知ξ₁，A(ξ₁+ξ₂)，A²(ξ₁+ξ₂+ξ₃)线性无关[*]=λ₂λ₃²≠0，即λ₂λ₃≠0．

解析

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考研数学二

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设A=E-ααT，其中α为n维非零列向量，证明：(1)A2=A的充分必要条件是α为单位向量；(2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵．
设方程组(Ⅰ)：(1)求(Ⅰ)，(Ⅱ)的基础解系；(2)求(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解．
若矩阵A=相似于对角矩阵，试确定常数a的值，并求可逆矩阵P使P-1AP=．
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