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设A是三阶实矩阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同的特征值,ξ1,ξ2,ξ3是三个对应的特征向量,证明:当λ2λ3≠0时,向量组ξ1,A(ξ1+ξ2),A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关.
设A是三阶实矩阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同的特征值,ξ1,ξ2,ξ3是三个对应的特征向量,证明:当λ2λ3≠0时,向量组ξ1,A(ξ1+ξ2),A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关.
admin
2015-08-14
89
问题
设A是三阶实矩阵,λ
1
,λ
2
,λ
3
是A的三个不同的特征值,ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
是三个对应的特征向量,证明:当λ
2
λ
3
≠0时,向量组ξ
1
,A(ξ
1
+ξ
2
),A
2
(ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
)线性无关.
选项
答案
因[ξ
1
,A(ξ
1
+ξ
2
),A
2
(ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
)]=[ξ
1
,λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
,λ
1
2
ξ
1
+λ
2
2
ξ
2
+λ
3
2
ξ
3
]=[ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
][*] 因λ
1
≠λ
2
≠λ
3
,故ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
线性无关,由上式知ξ
1
,A(ξ
1
+ξ
2
),A
2
(ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
)线性无关[*]=λ
2
λ
3
2
≠0,即λ
2
λ
3
≠0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/I034777K
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考研数学二
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