利用变换y=f(ex)求微分方程y"-(2ex+1)y’+e2xy=e3x的通解．

admin2019-05-08 34

问题利用变换y=f(e^x)求微分方程y"-(2e^x+1)y’+e^2xy=e^3x的通解．

选项

答案令t=e^x，则y=f(t)，y’=f’(t).e^x=tf’(t)， y"=[tf’(t)]_x’=e^xf’(t)+tf"(t).e^x=tf’(t)+t²f"(t)，代入方程得t²f"(t)+tf’(t)一(2t+1)tf’(t)+t²f(t)=t³，即 f"(t)一2f’(t)+f(t)=t．解得f(t)=(C₁+C₂t)e^t+t+2，所以y"一(2e^x+1)y’+e^2xy=e^3x的通解为 y=(C₁+C₂e^x)[*]+e^x+2，其中C₁，Cv为任意常数．

解析

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