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设二次型f(x1,x1,x3)=—2x1x3+2ax2x3(a<0)通过正交变换化为标准形. (Ⅰ)求常数a,b; (Ⅱ)求正交变换矩阵; (Ⅲ)当|X|=1时,求二次型的最大值.
设二次型f(x1,x1,x3)=—2x1x3+2ax2x3(a<0)通过正交变换化为标准形. (Ⅰ)求常数a,b; (Ⅱ)求正交变换矩阵; (Ⅲ)当|X|=1时,求二次型的最大值.
admin
2020-03-15
77
问题
设二次型f(x
1
,x
1
,x
3
)=
—2x
1
x
3
+2ax
2
x
3
(a<0)通过正交变换化为标准形
.
(Ⅰ)求常数a,b;
(Ⅱ)求正交变换矩阵;
(Ⅲ)当|X|=1时,求二次型的最大值.
选项
答案
(Ⅰ)令A[*] 则f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
AX. 因为二次型经过正交变换化为[*],所以矩阵A得特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=b.由特 征值的质得[*]解得a=-1,b=-1. (Ⅱ)当λ
1
=λ
2
=2时,由(2E—A)X=0,得ξ
1
=[*],ξ
2
=[*];当λ
3
=一1时,由(-E-A)X=0,得ξ
3
=[*] 令β
1
=ξ
1
=[*],β
2
=ξ
2
-[*]β
1
=[*],β
3
=ξ
3
=[*],单位化得γ
1
=[*], [*] 令Q=[*],则f(x
1
,x
2
,x
3
)[*] (Ⅲ)因为Q为正交矩阵,所以|X|=1时,|Y|=1,当|Y|=1时,二次型的最大值为2.
解析
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考研数学三
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