设二次型f(x1，x1，x3)=—2x1x3+2ax2x3(a＜0)通过正交变换化为标准形． (Ⅰ)求常数a，b； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当｜X｜=1时，求二次型的最大值．

admin2020-03-15 96

问题设二次型f(x₁，x₁，x₃)=

—2x₁x₃+2ax₂x₃(a＜0)通过正交变换化为标准形

．
(Ⅰ)求常数a，b；
(Ⅱ)求正交变换矩阵；
(Ⅲ)当｜X｜=1时，求二次型的最大值．

选项

答案(Ⅰ)令A[*] 则f(x₁,x₂,x₃)=X^TAX．因为二次型经过正交变换化为[*]，所以矩阵A得特征值为λ₁=λ₂=2，λ₃=b.由特征值的质得[*]解得a=－1，b=－1. (Ⅱ)当λ₁=λ₂=2时，由(2E—A)X=0，得ξ₁=[*]，ξ₂=[*]；当λ₃=一1时，由(－E－A)X=0，得ξ₃=[*] 令β₁=ξ₁=[*]，β₂=ξ₂－[*]β₁=[*]，β₃=ξ₃=[*]，单位化得γ₁=[*]， [*] 令Q=[*]，则f(x₁，x₂，x₃)[*] (Ⅲ)因为Q为正交矩阵，所以｜X｜=1时，｜Y｜=1，当｜Y｜=1时，二次型的最大值为2.

解析

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考研数学三

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设二次型f(x1，x1，x3)=—2x1x3+2ax2x3(a＜0)通过正交变换化为标准形． (Ⅰ)求常数a，b； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当｜X｜=1时，求二次型的最大值．

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