设二次型f(x1,x1,x3)=—2x1x3+2ax2x3(a<0)通过正交变换化为标准形. (Ⅰ)求常数a,b; (Ⅱ)求正交变换矩阵; (Ⅲ)当|X|=1时,求二次型的最大值.

admin2020-03-15  74

问题 设二次型f(x1,x1,x3)=—2x1x3+2ax2x3(a<0)通过正交变换化为标准形
(Ⅰ)求常数a,b;
(Ⅱ)求正交变换矩阵;
(Ⅲ)当|X|=1时,求二次型的最大值.

选项

答案(Ⅰ)令A[*] 则f(x1,x2,x3)=XTAX. 因为二次型经过正交变换化为[*],所以矩阵A得特征值为λ12=2,λ3=b.由特 征值的质得[*]解得a=-1,b=-1. (Ⅱ)当λ12=2时,由(2E—A)X=0,得ξ1=[*],ξ2=[*];当λ3=一1时,由(-E-A)X=0,得ξ3=[*] 令β11=[*],β22-[*]β1=[*],β33=[*],单位化得γ1=[*], [*] 令Q=[*],则f(x1,x2,x3)[*] (Ⅲ)因为Q为正交矩阵,所以|X|=1时,|Y|=1,当|Y|=1时,二次型的最大值为2.

解析
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