2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x1，x3)=—2x1x3+2ax2x3(a＜0)通过正交变换化为标准形． (Ⅰ)求常数a，b； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当｜X｜=1时，求二次型的最大值．

设二次型f(x1，x1，x3)=—2x1x3+2ax2x3(a＜0)通过正交变换化为标准形． (Ⅰ)求常数a，b； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当｜X｜=1时，求二次型的最大值．

admin2020-03-15  145
问题 设二次型f(x1，x1，x3)=—2x1x3+2ax2x3(a＜0)通过正交变换化为标准形．
(Ⅰ)求常数a，b；
(Ⅱ)求正交变换矩阵；
(Ⅲ)当｜X｜=1时，求二次型的最大值．
选项
答案(Ⅰ)令A[*] 则f(x1,x2,x3)=XTAX． 因为二次型经过正交变换化为[*]，所以矩阵A得特征值为λ1=λ2=2，λ3=b.由特 征值的质得[*]解得a=－1，b=－1. (Ⅱ)当λ1=λ2=2时，由(2E—A)X=0，得ξ1=[*]，ξ2=[*]；当λ3=一1时，由(－E－A)X=0，得ξ3=[*] 令β1=ξ1=[*]，β2=ξ2－[*]β1=[*]，β3=ξ3=[*]，单位化得γ1=[*]， [*] 令Q=[*]，则f(x1，x2，x3)[*] (Ⅲ)因为Q为正交矩阵，所以｜X｜=1时，｜Y｜=1，当｜Y｜=1时，二次型的最大值为2.
解析
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考研数学三

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