2. 考研
  3. 设向量组α1，α2，…，αm线性相关，且α1≠0，证明存在某个向量αk（2≤k≤m），使αk能由α1，α2，…，αk—1线性表示。

设向量组α1，α2，…，αm线性相关，且α1≠0，证明存在某个向量αk（2≤k≤m），使αk能由α1，α2，…，αk—1线性表示。

admin2017-12-29  59
问题 设向量组α1，α2，…，αm线性相关，且α1≠0，证明存在某个向量αk（2≤k≤m），使αk能由α1，α2，…，αk—1线性表示。
选项
答案因为向量组α1，α2，…，αm线性相关，由定义知，存在不全为零的数λ1，λ2，…，λm，使 λ1α1+λ2α2+…+λmαm=0。 因λ1，λ2，…，λm不全为零，所以必存在k，使得λk≠0，且λk+1=…=λm=0。 当k=1时，代入上式有λ1α1=0。又因为α1≠0，所以λ1=0，与假设矛盾，故k≠1。 当λk≠0且k≥2时，有αk=[*]αk—1，k≠1，因此向量αk能由α1，α2，…，αk—1线性表示。
解析
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考研数学三

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