已知 求A的特征值与特征向量,并指出A可以相似对角化的条件.

admin2017-06-14  36

问题 已知

求A的特征值与特征向量,并指出A可以相似对角化的条件.

选项

答案由矩阵A的特征多项式 [*] 得A的特征值是λ1=1-a,λ2=a, λ3=a+1. 由(λ1E-A)x=0,得属于λ1=1-a的特征向量是 α1=(1,0,1)T. 由(λ2E-A)x=0,得属于λ2=a的特征向量是 α2=(1,1—2a,1)T, 由(λ3E-A)x=0,得属于λ3=a+1的特征向量是 α3=(2-a,-4a,a+2)T. 如果λ1,λ2,λ3互不相同,即1-a≠a,1-a≠a+1,a≠a+1, 即[*]且a≠0,则矩阵A有3个不同的特征值.A可以相似对角化. 若[*]此时A只有一个线性无关的特征向量,故A不能相似对角化. 若a=0,即λ13=1,此时A只有一个线性无关的特征向量,故A不能相似对角化.

解析
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