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设函数f(x)在[0,+∞)内可导,f(0)=1,且f’(x)+f(x)-∫0xf(t)dt=0. (1)求f(x);(2)证明:当x≥0时,e-x≤f(x)≤1.
设函数f(x)在[0,+∞)内可导,f(0)=1,且f’(x)+f(x)-∫0xf(t)dt=0. (1)求f(x);(2)证明:当x≥0时,e-x≤f(x)≤1.
admin
2018-05-25
96
问题
设函数f(x)在[0,+∞)内可导,f(0)=1,且f’(x)+f(x)-
∫
0
x
f(t)dt=0.
(1)求f(x);(2)证明:当x≥0时,e
-x
≤f(x)≤1.
选项
答案
(1)(x+1)f’(x)+(x+1)f(x)-∫
0
x
f(t)dt=0,两边求导数,得(x+1)f’’(x)=-(x+2)f’(x)=> [*] 再由f(0)=1,f’(0)+f(0)=0,得f’(0)=-1,所以C=-1,于是 [*] (2)当x≥0时,因为f’(x)<0且f(0)=1,所以f(x)≤f(0)=1. 令g(x)=f(x)-e
-x
.g(0)=0,g’(x)=f’(x)+e
-x
=[*] 由 [*] =>g(x)≥0=>f(x)≥e
-x
(x≥0).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/nsW4777K
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考研数学三
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