已知区域D由曲线y=ex的过原点的切线、曲线y=ex及y=1所围成,求区域D绕x=e旋转而成的旋转体的体积.

admin2021-03-16  34

问题 已知区域D由曲线y=ex的过原点的切线、曲线y=ex及y=1所围成,求区域D绕x=e旋转而成的旋转体的体积.

选项

答案设切点为P(a,ea), 由ea=[*]得a=1,故所求的切线为y=ex; 取[y,y+dy][*][1,e], dV=[π(e-x1)2-π(e-x2)2]dy, 由x1=lny,x2=[*]得 dV=π[(e-lny)2-[*]]dy=π(-2elny+ln2y+2y-[*])dy, 故所求的体积为 V=π∫1e(-2elny+In2y+2y-[*])dy =π(-2e∫1elnydy+∫1eln2ydy+∫1e2ydy-[*]∫1ey2dy), 由∫1elnydy=ylny[*](e-1)=1, ∫1eln2ydy=yln2y[*]-2∫1elnydy=e-2得 V=π[-2e+e-2+e2-1-[*](e3-1)]=π[*]

解析
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