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  3. 已知区域D由曲线y＝ex的过原点的切线、曲线y＝ex及y＝1所围成，求区域D绕x＝e旋转而成的旋转体的体积．

已知区域D由曲线y＝ex的过原点的切线、曲线y＝ex及y＝1所围成，求区域D绕x＝e旋转而成的旋转体的体积．

admin2021-03-16  60
问题 已知区域D由曲线y＝ex的过原点的切线、曲线y＝ex及y＝1所围成，求区域D绕x＝e旋转而成的旋转体的体积．
选项
答案设切点为P(a，ea)， 由ea＝[*]得a＝1，故所求的切线为y＝ex； 取[y，y＋dy][*][1，e]， dV＝[π(e－x1)2－π(e－x2)2]dy， 由x1＝lny，x2＝[*]得 dV＝π［(e－lny)2－[*]］dy＝π(－2elny＋ln2y＋2y－[*])dy， 故所求的体积为 V＝π∫1e(－2elny＋In2y＋2y－[*])dy ＝π(－2e∫1elnydy＋∫1eln2ydy＋∫1e2ydy－[*]∫1ey2dy)， 由∫1elnydy＝ylny[*](e－1)＝1， ∫1eln2ydy＝yln2y[*]－2∫1elnydy＝e－2得 V＝π[－2e＋e－2＋e2－1－[*](e3－1)]＝π[*]
解析
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考研数学二

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