设f(x)在[0，1-]上连续，且f(x)

admin2015-06-30 71

问题设f(x)在[0，1-]上连续，且f(x)<1，证明：2x-∫₀^xf(t)dt=1在(0，1)有且仅有一个根．

选项

答案令φ(x)=2x-∫₀^xf(t)dt-1，φ(0)=-1，φ(1)=1-∫₀^xf(t)dt，因为f(x)<1，所以∫₀^xf(t)dt<1，从而φ(0)φ(1)<0，由零点定理，存在c∈(0，1)，使得φ(c)=0．因为φ’(x)=2-f’(x)>0，所以φ(x)在[0，1]上单调增加，故方程2x-∫₀^xf(t)dt=1有且仅有一个根．

解析

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