设f(x)在[0,1-]上连续,且f(x)

admin2015-06-30  41

问题 设f(x)在[0,1-]上连续,且f(x)<1,证明:2x-∫0xf(t)dt=1在(0,1)有且仅有一个根.

选项

答案令φ(x)=2x-∫0xf(t)dt-1,φ(0)=-1,φ(1)=1-∫0xf(t)dt, 因为f(x)<1,所以∫0xf(t)dt<1,从而φ(0)φ(1)<0, 由零点定理,存在c∈(0,1),使得φ(c)=0. 因为φ’(x)=2-f’(x)>0,所以φ(x)在[0,1]上单调增加,故方程2x-∫0xf(t)dt=1有且仅有一个根.

解析
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