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设二次型f=2x21+2x22+ax23+2x1x2+2bx1x2+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=y21+y22+4y23,求参数a,b及正交矩阵Q.
设二次型f=2x21+2x22+ax23+2x1x2+2bx1x2+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=y21+y22+4y23,求参数a,b及正交矩阵Q.
admin
2019-11-25
21
问题
设二次型f=2x
2
1
+2x
2
2
+ax
2
3
+2x
1
x
2
+2bx
1
x
2
+2x
2
x
3
经过正交变换X=QY化为标准形f=y
2
1
+y
2
2
+4y
2
3
,求参数a,b及正交矩阵Q.
选项
答案
二次型f=2x
2
1
+2x
2
2
+ax
2
3
+2x
1
x
2
+2bx
1
x
3
+2x
2
x3的矩阵形式为f=X
T
AX,其中A=[*],X=[*].因为Q
T
AQ=B=[*],所以A~B(因为正交矩阵 的转置矩阵即为其逆矩阵),于是A的特征值为1,1,4. 而|λE-A|=λ
3
-(a+4)λ
2
+(4a-b
2
+2)λ+(-3a-2b+2b
2
+2),所以有 λ
3
-(a+4)λ
2
+(4a-b
2
+2)λ+(-3a-2b+2b
2
+2)=(λ-1)
2
(λ-4), 解得a=2,b=1. 当λ
1
=λ
2
=1时,由(E-A)X=0得ξ
1
=[*],ξ
2
=[*], 当λ
3
=4时,由(4E-A)X=0得ξ
3
=[*],显然ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
两两正交,单位化为 γ
1
=[*],γ
2
=[*],γ
3
=[*],则Q=[*].
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/oBD4777K
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考研数学三
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