设二次型f＝2x21＋2x22＋ax23＋2x1x2＋2bx1x2＋2x2x3经过正交变换X＝QY化为标准形f＝y21＋y22＋4y23，求参数a，b及正交矩阵Q．

admin2019-11-25 78

问题设二次型f＝2x²₁＋2x²₂＋ax²₃＋2x₁x₂＋2bx₁x₂＋2x₂x₃经过正交变换X＝QY化为标准形f＝y²₁＋y²₂＋4y²₃，求参数a，b及正交矩阵Q．

选项

答案二次型f＝2x²₁＋2x²₂＋ax²₃＋2x₁x₂＋2bx₁x₃＋2x₂x3的矩阵形式为f＝X^TAX，其中A＝[*]，X＝[*]．因为Q^TAQ＝B＝[*]，所以A～B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1，1，4．而｜λE－A｜＝λ³－(a＋4)λ²＋(4a－b²＋2)λ＋(－3a－2b＋2b²＋2)，所以有 λ³－(a＋4)λ²＋(4a－b²＋2)λ＋(－3a－2b＋2b²＋2)＝(λ－1)²(λ－4)，解得a＝2，b＝1．当λ¹＝λ²＝1时，由(E－A)X＝0得ξ₁＝[*]，ξ₂＝[*]，当λ₃＝4时，由(4E－A)X＝0得ξ₃＝[*]，显然ξ₁，ξ₂，ξ₃两两正交，单位化为 γ₁＝[*]，γ₂＝[*]，γ₃＝[*]，则Q＝[*]．

解析

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考研数学三

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设二次型f＝2x21＋2x22＋ax23＋2x1x2＋2bx1x2＋2x2x3经过正交变换X＝QY化为标准形f＝y21＋y22＋4y23，求参数a，b及正交矩阵Q．

考研数学三

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