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  3. 设二次型f＝2x21＋2x22＋ax23＋2x1x2＋2bx1x2＋2x2x3经过正交变换X＝QY化为标准形f＝y21＋y22＋4y23，求参数a，b及正交矩阵Q．

设二次型f＝2x21＋2x22＋ax23＋2x1x2＋2bx1x2＋2x2x3经过正交变换X＝QY化为标准形f＝y21＋y22＋4y23，求参数a，b及正交矩阵Q．

admin2019-11-25  49
问题 设二次型f＝2x21＋2x22＋ax23＋2x1x2＋2bx1x2＋2x2x3经过正交变换X＝QY化为标准形f＝y21＋y22＋4y23，求参数a，b及正交矩阵Q．
选项
答案二次型f＝2x21＋2x22＋ax23＋2x1x2＋2bx1x3＋2x2x3的矩阵形式为f＝XTAX，其中A＝[*]，X＝[*]．因为QTAQ＝B＝[*]，所以A～B(因为正交矩阵 的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1，1，4． 而｜λE－A｜＝λ3－(a＋4)λ2＋(4a－b2＋2)λ＋(－3a－2b＋2b2＋2)，所以有 λ3－(a＋4)λ2＋(4a－b2＋2)λ＋(－3a－2b＋2b2＋2)＝(λ－1)2(λ－4)， 解得a＝2，b＝1． 当λ1＝λ2＝1时，由(E－A)X＝0得ξ1＝[*]，ξ2＝[*]， 当λ3＝4时，由(4E－A)X＝0得ξ3＝[*]，显然ξ1，ξ2，ξ3两两正交，单位化为 γ1＝[*]，γ2＝[*]，γ3＝[*]，则Q＝[*]．
解析
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考研数学三

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